I n t r o d u c t i o n
A U C H A O S EN T E M P S
C O N T IN U
■a O c D
Û
kO
t H
O
CM
(y)
x: C T I
>.
C L
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Q
@
Ce chapitre introduit la notion de chaos en montrant que le comportement à long
terme d’une trajectoire d’un système à temps continu :
- peut être classé en un petit nombre de catégories, et décrit dans des termes assez
simples, si sa dimension est 1 ou 2. Les comportements-types sont recensés par le
théorème de Poincaré-Bendixson ;
- peut présenter d’autres comportements si la dimension du système est d’au
moins 3. Pour certains de ces nouveaux comportements, on parle de chaos.
Outre les notions définies dans les chapitres précédents, l’introduction à la notion de
chaos nécessite aussi de connaître la notion de fractale, qui fait l’objet de l’annexe 6.
Intermède historique : Verreur de Poincaré
Passionné de mathématiques et d ’astronomie, le roi Oscar de Norvège et de Suède
offre en 1889 un prix de 2500 couronnes à Vauteur d ’une « découverte importante
dans le domaine de l ’analyse mathématique supérieure ». Le mémoire de Poincaré
sur le problème des 3 corps (trois masses ponctuelles mues exclusivement par leurs
interactions gravitationnelles, selon la loi de Newton) lui vaut l ’admiration du jury,
au sein duquel siègent Weierstrass et H ermite. Il reçoit le prix... mais le jeune Phragmen, relecteur au service de l ’imprimeur, détecte une erreur. Beau joueur, Poincaré
non seulement assure les frais de réimpression, mais retourne à son avantage l ’égratignure légitime du modeste Phrdgmen en corrigeant et approfondissant son travail
initial. Sa profondeur d ’analyse lui permet ainsi une première et fructueuse ouverture
vers la théorie du chaos.
11.1
E n s e m b l e s - l i m i t e s e n d i m e n s i o n 2
Le but de cette section est de préparer la suivante, consacrée au théorème de PoincaréBendixson : ce théorème donne une classification des orbites d’un système bidimensionnel. Il est donc de nature qualitative. Son importance provient de celle des systèmes bidimensionnels, et son originalité réside dans le fait qu’il est spécifique à la
dimension 2. On ne trouve nul analogue sur
si n ^ 2. Nous allons ici cheminer
à travers les ensembles-limites du plan, en six étapes dont chacune est typique des
raisonnements qualitatifs classiques dans l’étude des systèmes dynamiques.
159
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Ce chapitre introduit la notion de chaos en montrant que le comportement à long
terme d’une trajectoire d’un système à temps continu :
- peut être classé en un petit nombre de catégories, et décrit dans des termes assez
simples, si sa dimension est 1 ou 2. Les comportements-types sont recensés par le
théorème de Poincaré-Bendixson ;
- peut présenter d’autres comportements si la dimension du système est d’au
moins 3. Pour certains de ces nouveaux comportements, on parle de chaos.
Outre les notions définies dans les chapitres précédents, l’introduction à la notion de
chaos nécessite aussi de connaître la notion de fractale, qui fait l’objet de l’annexe 6.
Intermède historique : Verreur de Poincaré
Passionné de mathématiques et d ’astronomie, le roi Oscar de Norvège et de Suède
offre en 1889 un prix de 2500 couronnes à Vauteur d ’une « découverte importante
dans le domaine de l ’analyse mathématique supérieure ». Le mémoire de Poincaré
sur le problème des 3 corps (trois masses ponctuelles mues exclusivement par leurs
interactions gravitationnelles, selon la loi de Newton) lui vaut l ’admiration du jury,
au sein duquel siègent Weierstrass et H ermite. Il reçoit le prix... mais le jeune Phragmen, relecteur au service de l ’imprimeur, détecte une erreur. Beau joueur, Poincaré
non seulement assure les frais de réimpression, mais retourne à son avantage l ’égratignure légitime du modeste Phrdgmen en corrigeant et approfondissant son travail
initial. Sa profondeur d ’analyse lui permet ainsi une première et fructueuse ouverture
vers la théorie du chaos.
11.1
E n s e m b l e s - l i m i t e s e n d i m e n s i o n 2
Le but de cette section est de préparer la suivante, consacrée au théorème de PoincaréBendixson : ce théorème donne une classification des orbites d’un système bidimensionnel. Il est donc de nature qualitative. Son importance provient de celle des systèmes bidimensionnels, et son originalité réside dans le fait qu’il est spécifique à la
dimension 2. On ne trouve nul analogue sur
si n ^ 2. Nous allons ici cheminer
à travers les ensembles-limites du plan, en six étapes dont chacune est typique des
raisonnements qualitatifs classiques dans l’étude des systèmes dynamiques.
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