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u
10.6. Autres notions
L ’e x p o s a n t d e L i a p o u n o v du cycle est :
h(x{), u) = lnL(jco, u) = (l/m)ln |r(^o> ^01- Il dépend de u.
Soulignons que L(xj, u) et h(xi, u) ne dépendent pas du représentant Xj d’un m-cycle
donné.
• G é n é r a l i s a t i o n a u x o r b i t e s : ces définitions en appellent de plus générales pour
une orbite quelconque, pas nécessairement périodique.
- le nombre de Liapounov associé à l’orbite |.ro, x\, X2 , ...} de .a c q et au vecteur
unitaire ii est, si cette limite existe :
L{xo, u) = lim {||(V/;t o . . . o
o V/;to)(i')lll'^'"
m— ^oo
l’exposant de Liapounov de l’orbite Orb[xo] est alors, pour u unitaire :
h(x(), u) = lim — In ||(V/^„,_| o . . . o V/t, o V/j:„)(m)||
A «— >00 Ifl
On n’affecte pas le résultat si on substitue à jcq un élément x¡ quelconque de son
orbite.
Nous retrouverons le nombre et l’exposant de Liapounov au chapitre suivant, à
l’occasion de la définition du chaos.
1 0 . 6
A u t r e s N O T IO N S
Nous pouvons introduire pour les systèmes à temps discret un certain nombre d’autres
notions analogues à celles définies pour les systèmes à temps continu. En voici
quelques exemples, la liste n’étant naturellement pas limitative :
- bassins d’attraction ou de répulsion : nous en trouverons quelques exemples lors
de l’étude de l’application logistique au chapitre 12.
- variétés remarquables : par exemple, à l’équilibre 0 du système :
I _
^ 1
la variété stable V^(0) est la droite z/ = 0, la variété instable
\ 0 3 l\ykl
Vm(0) la droite X = 0.
- bifurcations : par exemple, l’apparition de m-cycles aura une importance particulière comme on le verra au chapitre 12.
A contrario, certaines propriétés des systèmes à temps continu n’ont pas d’équivalent
en temps discret, par exemple :
Q
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