On définit pour cj\xk) ^ 0 l ’e x p o s a n t d e L i a p o u n o v du m-cycle par :
/zUo) = ln[Lfe)] = (l/m )ln (|/U o )
• G é n é r a l i s a t i o n a u x o r b i t e s : ces définitions en appellent de plus générales pour
une orbite quelconque, pas nécessairement périodique :
- le nombre de Liapounov de l’orbite { x q , x \ , ^ 2 > • • •} ^st, si cette limite existe :
L(xq)= lim |/'(x o )/'(x i)
Chapitre 10 • Systèmes à temps discret : équilibres et cycles
- l’exposant de Liapounov de l’orbite Orb\xo] est :
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(5)
gj
‘s_
>.
C L
O
U
h{x()) = lim (l/m)ln(|/'(A:()) . . . /'(x „_ i)| )
h existe si et seulement si L existe et est non nui. On a dans ce cas
h(xo) = ln[L(xo)]
R e m a r q u e s
1. Voici un exemple de non-existence du nombre de Liapounov d’une orbite : f{x) =
2 ' sur = R I (le rapport tend vers l’infini si jc> 1).
2. L(xo) ne dépend pas du point de l’orbite choisi. On pourrait donc, bien que ce ne
soit pas l’usage, le noter L[Orb{xo)]. La même remarque vaut pour h{xo).
3. Nous avons vu que, contrairement au cas d’un système à temps continu, deux
orbites distinctes peuvent se couper. Si deux orbites ont une intersection non
vide, elles ont le même nombre de Liapounov.
4. Pour le système géométrique f{x) = ax défini sur = R* :
- le flot est x„ = a" x q . On a L ( x o ) = dal")'/" = \a\
- l’exposant de Liapounov est h(xo) = ln[L(jco)] = ln|<3|.
b) Cas multidimensionnel : n quelconque
Soit un m-cycle (xq, ...,
Nous avons défini plus haut le nombre r(xQ, u) qui,
pour ||w|| = 1, s’exprime :
r(X(), U) = ||(V/;,,„_, O ... O V/;,, O Vfj,^)(u)\\
Nous généralisons la définition (cas unidimensionnel) de L(xi^) en posant :
L(xq, u) = |r(xo,
n o m b r e d e L i a p o u n o v du cycle, associé au couple (xq, u).
Il s’agit effectivement d’une généralisation au cas multidimensionnel.
Car f'(x j) (n = \) est un cas particulier de Vfxj(ii) (n quelconque).
156