10.5. Exposant de Liapounov
Il s’agit d’identifier si cette dernière valeur implique ou non que
+ u) est plus
proche de xq que xq + w. Tout dépend donc du rapport des deux éloignements :
r(xQ, u) = -1- ||(V/. O ... O Vf;, O V/„)(«)||
- si V M G R"*
w)| < 1, le cycle est stable et attractif.
- si 3 w G R"* tel que |г(л:о, u)\ > 1, le cycle est instable.
- si V G R"* k(-^o» w)| > 1, le cycle est instable et répulsif.
Notons que r(xo, u) ne dépend que de la direction de u et que l’on peut donc limiter
la définition au cas ||w|| = 1, ce qui simplifie l’expression de r(;ro, u).
f
-- --------------------------------------------------Exercice 10.2 É q u ilib res e t 3 -cy cle
Soient les fonctions réelles x G R i-> |
^ ^ . On définit le système à temps
[j2W -
+ 4
discret S O par xq
e N,
= f{xn) avec / = m in(/i, / 2).
1. Déterminer les équilibres du système.
1 5
2. Montrer que pour x e I =
, on a f^(x) = 8jc, en notant
la fonction
composée f о f о f .
3. En déduire un équilibre du système Z défini par Xn+\ - f^(Xn), puis pour So
l’existence d’un 3-cycle que l’on déterminera.
4. Montrer que le 3-cycle identifié en question précédente est instable et répulsif.
■a
O c
û
Ю
tH
O
Г М
xz
ai
Q.
O
U
û
©
1 0 . 5
E x p o s a n t DE L i a p o u n o v
a) Cas unidimensionnel : n = 1
Soit un m-cycle (xo,..., x,n-\). Nous gardons la notation g =
= f° ^ . D’après ce
qui précède, jc proche de Xk s’en éloigne au bout d’un « tour », c’est-à-dire après m pas
de temps, d’un facteur équivalent (s’il est non-nul) à \g'(xk)\ = \f'(xo)\ ... |/'(-^m-i)l*
Ce facteur est donc une mesure de la vitesse de convergence (si le cyle est attractif)
ou de divergence (s’il est répulsif) de la trajectoire. La moyenne géométrique des
valeurs absolues des m facteurs du produit est :
L(xk) =
= \f'{xo )f'ix^) ...f(x ,„ .^ )\
On l’appelle n o m b r e d e L i a p o u n o v du cycle.
155
Il s’agit d’identifier si cette dernière valeur implique ou non que
+ u) est plus
proche de xq que xq + w. Tout dépend donc du rapport des deux éloignements :
r(xQ, u) = -1- ||(V/. O ... O Vf;, O V/„)(«)||
- si V M G R"*
w)| < 1, le cycle est stable et attractif.
- si 3 w G R"* tel que |г(л:о, u)\ > 1, le cycle est instable.
- si V G R"* k(-^o» w)| > 1, le cycle est instable et répulsif.
Notons que r(xo, u) ne dépend que de la direction de u et que l’on peut donc limiter
la définition au cas ||w|| = 1, ce qui simplifie l’expression de r(;ro, u).
f
-- --------------------------------------------------Exercice 10.2 É q u ilib res e t 3 -cy cle
Soient les fonctions réelles x G R i-> |
^ ^ . On définit le système à temps
[j2W -
+ 4
discret S O par xq
e N,
= f{xn) avec / = m in(/i, / 2).
1. Déterminer les équilibres du système.
1 5
2. Montrer que pour x e I =
, on a f^(x) = 8jc, en notant
la fonction
composée f о f о f .
3. En déduire un équilibre du système Z défini par Xn+\ - f^(Xn), puis pour So
l’existence d’un 3-cycle que l’on déterminera.
4. Montrer que le 3-cycle identifié en question précédente est instable et répulsif.
■a
O c
û
Ю
tH
O
Г М
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ai
Q.
O
U
û
©
1 0 . 5
E x p o s a n t DE L i a p o u n o v
a) Cas unidimensionnel : n = 1
Soit un m-cycle (xo,..., x,n-\). Nous gardons la notation g =
= f° ^ . D’après ce
qui précède, jc proche de Xk s’en éloigne au bout d’un « tour », c’est-à-dire après m pas
de temps, d’un facteur équivalent (s’il est non-nul) à \g'(xk)\ = \f'(xo)\ ... |/'(-^m-i)l*
Ce facteur est donc une mesure de la vitesse de convergence (si le cyle est attractif)
ou de divergence (s’il est répulsif) de la trajectoire. La moyenne géométrique des
valeurs absolues des m facteurs du produit est :
L(xk) =
= \f'{xo )f'ix^) ...f(x ,„ .^ )\
On l’appelle n o m b r e d e L i a p o u n o v du cycle.
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