Chapitre 10 • Systèmes à temps discret : équilibres et cycles
■a O c 3
Q
O
rsj
x z
g i
>C L
O
U
Alors, {fj^'Y(xo) = i f j O /)'(xo)
= i f n f ( x o ) ] . f ( x o )
= {f^y{x\)-f{xo ) = f'( x o ) f '( x O .. . f ( X j )
(*) se trouve ainsi vérifié au rang j + 1, ce qui valide la proposition :
VyGN*, V xoea (fjY{xo) = r i x o ) f ( x 0 . . . f ( x : ^ )
Soit maintenant (;co, xy,
, x,n-i) un m-cycle.
Intéressons-nous au système Z : Xk+i = g(xk) , où g(x) = f^ (x ).
Appliquant la proposition ci-dessus à /: = m, il vient :
Ç/(xq) = ( f y ( x o ) = f'{X Q )f(X i) . ..f( x ,n - l) .
Comme (;co, x\, . . . , x,n-\) est un m-cycle, l’application de la même formule à tout
Xk donnera, à l’ordre près des facteurs, le même second membre : ce réel est appelé
m u l t i p l i c a t e u r du cycle.
Par conséquent : g'(xo) = g'(xi) = ... = g'(x,n-\) = f i x Q ) f ( x i ) ... f(x ,n -ï).
Compte tenu du résultat établi au § 10.3.3 :
• si \f'(xQ) f'(x \) ... f'(Xfn-i)\ < 1, les m points Xk sont stables et attractifs pour
Z, donc asymptotiquement stables. Comme indiqué en tête de ce paragraphe, ces
qualificatifs s’appliquent au cycle.
On retiendra en particulier que le cycle est attractif.
• si \ f'(xo) f'(x \ ) ... f'(x,n-\)\ > 1, les m points Xk sont instables et répulsifs pour Z,
qualificatifs que partage le cycle.
On retiendra en particulier que le cycle est rép u lsif.
• Si le multiplicateur vaut +1, on peut, à l’image de ce que nous avons fait au § 10.3.3
pour les équilibres, bâtir des exemples montrant que le cycle peut être de diverses
natures : attractif, répulsif, ... On retiendra son caractère indéterm iné a priori.
C a s m u l t i d i m e n s i o n n e l ; n q u e l c o n q u e
Soit X() G R" un élément d’un m-cycle du système
= f{xk), avec / de classe
Nous notons toujours g{x) = f^ (x ). Donnons à xq un accroissement vectoriel
U G R " . En nous limitant au premier ordre en u :
• f{xo + u) - f{xo) vaut V/^-o(w).
• f^(xo + w) - f^(xo) vaut V/;ç, (V/^q(w)) (dérivation d’une fonction composée)
• g(xo + u) - çixo) = f^(xo + u) - / ' ”(-^0) =
-1- u) - xo vaut, toujours au premier
ordre :
VA,„_,(...(V/^,(V/^o)))(w) =
O ... O V/,, O Vf^^Xii)
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Alors, {fj^'Y(xo) = i f j O /)'(xo)
= i f n f ( x o ) ] . f ( x o )
= {f^y{x\)-f{xo ) = f'( x o ) f '( x O .. . f ( X j )
(*) se trouve ainsi vérifié au rang j + 1, ce qui valide la proposition :
VyGN*, V xoea (fjY{xo) = r i x o ) f ( x 0 . . . f ( x : ^ )
Soit maintenant (;co, xy,
, x,n-i) un m-cycle.
Intéressons-nous au système Z : Xk+i = g(xk) , où g(x) = f^ (x ).
Appliquant la proposition ci-dessus à /: = m, il vient :
Ç/(xq) = ( f y ( x o ) = f'{X Q )f(X i) . ..f( x ,n - l) .
Comme (;co, x\, . . . , x,n-\) est un m-cycle, l’application de la même formule à tout
Xk donnera, à l’ordre près des facteurs, le même second membre : ce réel est appelé
m u l t i p l i c a t e u r du cycle.
Par conséquent : g'(xo) = g'(xi) = ... = g'(x,n-\) = f i x Q ) f ( x i ) ... f(x ,n -ï).
Compte tenu du résultat établi au § 10.3.3 :
• si \f'(xQ) f'(x \) ... f'(Xfn-i)\ < 1, les m points Xk sont stables et attractifs pour
Z, donc asymptotiquement stables. Comme indiqué en tête de ce paragraphe, ces
qualificatifs s’appliquent au cycle.
On retiendra en particulier que le cycle est attractif.
• si \ f'(xo) f'(x \ ) ... f'(x,n-\)\ > 1, les m points Xk sont instables et répulsifs pour Z,
qualificatifs que partage le cycle.
On retiendra en particulier que le cycle est rép u lsif.
• Si le multiplicateur vaut +1, on peut, à l’image de ce que nous avons fait au § 10.3.3
pour les équilibres, bâtir des exemples montrant que le cycle peut être de diverses
natures : attractif, répulsif, ... On retiendra son caractère indéterm iné a priori.
C a s m u l t i d i m e n s i o n n e l ; n q u e l c o n q u e
Soit X() G R" un élément d’un m-cycle du système
= f{xk), avec / de classe
Nous notons toujours g{x) = f^ (x ). Donnons à xq un accroissement vectoriel
U G R " . En nous limitant au premier ordre en u :
• f{xo + u) - f{xo) vaut V/^-o(w).
• f^(xo + w) - f^(xo) vaut V/;ç, (V/^q(w)) (dérivation d’une fonction composée)
• g(xo + u) - çixo) = f^(xo + u) - / ' ”(-^0) =
-1- u) - xo vaut, toujours au premier
ordre :
VA,„_,(...(V/^,(V/^o)))(w) =
O ... O V/,, O Vf^^Xii)
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