10.4. w-cycles
T J
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« JD
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ai
>C L
O
U
a) S ta b ilité d e s m -c y c le s d ’u n s y s t è m e lin é a ire
Un exemple élémentaire va nous montrer que, si xq est un élément d’un m-cycle, alors
au bout de m pas de temps, l’état initial xq-\- h peut :
- soit se rapprocher de xq ;
- soit rester à égale distance de ;
- soit s’éloigner de xq,
ceci selon la direction de h, ce qui ne nous étonnera pas car nous savons déjà qu’en
temps continu ou discret, un écart à l’équilibre peut, selon sa direction dans W \ se
réduire ou s’amplifier au cours du temps.
r-1 0 0 ]
'J
Soit donc .r G R , et le système Xyt+i = 0 2 0
, 0 0 1/3,
Nous représenterons ci-après les vecteurs en ligne, pour en faciliter récriture.
De façon évidente, [jcq = (1, 0, 0), x\ = (-1 , 0, 0)] constitue un 2-cycle. Alors :
• Va G R, f^\xç) + (a, 0, 0)] = xq + (a, 0, 0) : lors d’un cycle, la distance à xq n’a
pas changé.
• Va G R, /^[jco + (0, a, 0)] = jcq + (0, 4a, 0) : lors d’un cycle, la distance à jcq a été
multipliée par 4.
• Va G R, f^[xQ + (0, 0, a)] = xq + (0, 0, a/9) : lors d’un cycle, la distance à xq a
été divisée par 9.
Cet exemple de dimension 3 est à rapprocher de l’exemple que la figure 7.9 nous
a offert en dimension 2 en temps continu. Il illustre le rôle sous-jacent des variétés
remarquables (voir aussi le § 10.6).
Revenons au cas général :
Nous avons f^(xo + h) - xq = A'”(xo + h) - xq = A'" xq +A'" h - xq = A'" h.
= X Q
Ce résultat simple permet de lier la stabilité du cycle à celle de xq en tant qu’équilibre
du système /'" , donc aux propriétés spectrales de A'”, donc finalement à celles de A.
b) S ta b ilité d e s m -c y c le s d ’u n s y s t è m e n o n - lin é a ir e
C a s u n i d i m e n s i o n n e l : n = 1
Xq étant un point quelconque de Q, montrons par récurrence que :
û
@
Pour tout j G N*, on a (f)'(xQ) = f'(xo)f'(xi) ... f'{xj-[) (*)
Ceci est vrai pour j = \ . Supposons ( * ) vérifié au rang j, pour tout xq g î 2.
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a) S ta b ilité d e s m -c y c le s d ’u n s y s t è m e lin é a ire
Un exemple élémentaire va nous montrer que, si xq est un élément d’un m-cycle, alors
au bout de m pas de temps, l’état initial xq-\- h peut :
- soit se rapprocher de xq ;
- soit rester à égale distance de ;
- soit s’éloigner de xq,
ceci selon la direction de h, ce qui ne nous étonnera pas car nous savons déjà qu’en
temps continu ou discret, un écart à l’équilibre peut, selon sa direction dans W \ se
réduire ou s’amplifier au cours du temps.
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Soit donc .r G R , et le système Xyt+i = 0 2 0
, 0 0 1/3,
Nous représenterons ci-après les vecteurs en ligne, pour en faciliter récriture.
De façon évidente, [jcq = (1, 0, 0), x\ = (-1 , 0, 0)] constitue un 2-cycle. Alors :
• Va G R, f^\xç) + (a, 0, 0)] = xq + (a, 0, 0) : lors d’un cycle, la distance à xq n’a
pas changé.
• Va G R, /^[jco + (0, a, 0)] = jcq + (0, 4a, 0) : lors d’un cycle, la distance à jcq a été
multipliée par 4.
• Va G R, f^[xQ + (0, 0, a)] = xq + (0, 0, a/9) : lors d’un cycle, la distance à xq a
été divisée par 9.
Cet exemple de dimension 3 est à rapprocher de l’exemple que la figure 7.9 nous
a offert en dimension 2 en temps continu. Il illustre le rôle sous-jacent des variétés
remarquables (voir aussi le § 10.6).
Revenons au cas général :
Nous avons f^(xo + h) - xq = A'”(xo + h) - xq = A'" xq +A'" h - xq = A'" h.
= X Q
Ce résultat simple permet de lier la stabilité du cycle à celle de xq en tant qu’équilibre
du système /'" , donc aux propriétés spectrales de A'”, donc finalement à celles de A.
b) S ta b ilité d e s m -c y c le s d ’u n s y s t è m e n o n - lin é a ir e
C a s u n i d i m e n s i o n n e l : n = 1
Xq étant un point quelconque de Q, montrons par récurrence que :
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Pour tout j G N*, on a (f)'(xQ) = f'(xo)f'(xi) ... f'{xj-[) (*)
Ceci est vrai pour j = \ . Supposons ( * ) vérifié au rang j, pour tout xq g î 2.
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