Chapitre 10 • Systèmes à temps discret : équilibres et cycles
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c
rj
û
« JD
tH
O
CM
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x:
D J
>•
Q .
O
U
1 0.4 m-CYCLES
10.4.1 Définition et propriétés élémentaires
La notion de m-cycle est spécifique aux systèmes à temps discret.
Par définition, un iw -cy c le est un m-uplet (.xq,
' , ^w-i) tel que pour tout k e
{1, 2, • • • , m - 1}, on ait / f e _ i ) = Xk et f{xm -\) = x,n = xq; m étant le plus petit
entier supérieur à 1 possédant cette propriété. On dira que tout point du cycle est
# w - p é rio d iq u e . En temps continu, l’analogue est une orbite périodique, le rôle de la
longueur m du cycle étant alors joué par la période T.
Exemples
1. Pour = R" et f(x ) = -X, tout couple (jc, - x ) avec jc 9^ = 0 est un 2-cycle.
2. Dans n =
euclidien, si f(x) est le transformé de jc dans une rotation de centre
0 et d’angle n jl, tout point non nul est 4-périodique.
3. Dans = R^ euclidien, si f{x) est le transformé de x dans une rotation de centre
0 et d’angle 1 radian, il n’existe aucun cycle.
R e m a r q u e s
1. Dans un m-cycle, tous les points Jouent le même rôle.
La numérotation j c q , ..., x,„_i de la définition n’implique pas qu’il y ait intrinsèquement un premier et un dernier éléments : chaque Xk pourrait jouer le rôle de xq.
2. Un équilibre xo est un 1 -cycle... appellation dénuée d’intérêt donc inusitée. Comme
nous l’avons signalé, on limite l’appellation de m-cycle au cas m > 1 .
3. Un m-cycle, en tant qu’ensemble de points, est une orbite. Mais une orbite peut
avoir un m-cycle comme partie propre : par exemple, pour le système / (x ) = x--4x-i-5
sur = R, le 2-cycle (1,2) est inclus s t r ic t e m e n t dans l’orbite de 3, qui est n, 2, 3}.
On a le schéma symbolique : 3 ^ 2
1
• En temps discret, un m-cycle peut accueillir les descendants d’un élément
étranger au cycle : il n’y a pas de « loi anti-immigration » ;
• En temps continu, une orbite périodique ne peut pas accueillir les descendants d’un élément étranger au cycle : il y a une loi anti-immigration, qui
n’est autre que le théorème de Cauchy-Lipschitz.
10.4.2 Stabilité des m-cycles
Notons P la composée (et non le produit) de j fois la fonction / ; /-^ = / ° / ° • • • o / .
^
^
j
f o i s
Soit .xo un élément d’un m-cycle. Alors, x^ = xq, et jcq est un équilibre du système
-^Â:+i =
où g(x) = f^ (x ). On dira que le m-cycle est s t a b l e (resp. instable,
attractif, répulsif) si l’équilibre xq du système Xk+i = g(xk) est stable (resp. instable,
attractif, répulsif).
On vérifie sans difficulté que ces définitions ne dépendent pas de l’élément du cycle
choisi : xo ne jouit pas d’un statut particulier.
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10.4.1 Définition et propriétés élémentaires
La notion de m-cycle est spécifique aux systèmes à temps discret.
Par définition, un iw -cy c le est un m-uplet (.xq,
' , ^w-i) tel que pour tout k e
{1, 2, • • • , m - 1}, on ait / f e _ i ) = Xk et f{xm -\) = x,n = xq; m étant le plus petit
entier supérieur à 1 possédant cette propriété. On dira que tout point du cycle est
# w - p é rio d iq u e . En temps continu, l’analogue est une orbite périodique, le rôle de la
longueur m du cycle étant alors joué par la période T.
Exemples
1. Pour = R" et f(x ) = -X, tout couple (jc, - x ) avec jc 9^ = 0 est un 2-cycle.
2. Dans n =
euclidien, si f(x) est le transformé de jc dans une rotation de centre
0 et d’angle n jl, tout point non nul est 4-périodique.
3. Dans = R^ euclidien, si f{x) est le transformé de x dans une rotation de centre
0 et d’angle 1 radian, il n’existe aucun cycle.
R e m a r q u e s
1. Dans un m-cycle, tous les points Jouent le même rôle.
La numérotation j c q , ..., x,„_i de la définition n’implique pas qu’il y ait intrinsèquement un premier et un dernier éléments : chaque Xk pourrait jouer le rôle de xq.
2. Un équilibre xo est un 1 -cycle... appellation dénuée d’intérêt donc inusitée. Comme
nous l’avons signalé, on limite l’appellation de m-cycle au cas m > 1 .
3. Un m-cycle, en tant qu’ensemble de points, est une orbite. Mais une orbite peut
avoir un m-cycle comme partie propre : par exemple, pour le système / (x ) = x--4x-i-5
sur = R, le 2-cycle (1,2) est inclus s t r ic t e m e n t dans l’orbite de 3, qui est n, 2, 3}.
On a le schéma symbolique : 3 ^ 2
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• En temps discret, un m-cycle peut accueillir les descendants d’un élément
étranger au cycle : il n’y a pas de « loi anti-immigration » ;
• En temps continu, une orbite périodique ne peut pas accueillir les descendants d’un élément étranger au cycle : il y a une loi anti-immigration, qui
n’est autre que le théorème de Cauchy-Lipschitz.
10.4.2 Stabilité des m-cycles
Notons P la composée (et non le produit) de j fois la fonction / ; /-^ = / ° / ° • • • o / .
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Soit .xo un élément d’un m-cycle. Alors, x^ = xq, et jcq est un équilibre du système
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où g(x) = f^ (x ). On dira que le m-cycle est s t a b l e (resp. instable,
attractif, répulsif) si l’équilibre xq du système Xk+i = g(xk) est stable (resp. instable,
attractif, répulsif).
On vérifie sans difficulté que ces définitions ne dépendent pas de l’élément du cycle
choisi : xo ne jouit pas d’un statut particulier.
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