10.3. Équilibres
Si |/'(xo)| = 1, c’est-à-dire si / ' ( jcq) = ± 1 , l’équilibre est dit i n d i f f é r e n t . Les
divers cas de stabilité sont alors possibles. Par exemple, xq = 0 est :
- stable non attractif pour f{x) = x ;
- attractif stable pour f(x ) = x - x^ ;
- instable non répulsif pour f{x) = x + x^ ;
- répulsif instable pour f(x ) = x + x^.
Les vérifications correspondantes sont aisées avec le diagramme itératif objet du
paragraphe suivant.
■a O
c
=3
Q
Ю
tH
O
(N
©
C T
>.
Q.
O
U
10.3.4 Le diagramme itératif
Dans le cas unidimensionnel, on peut illustrer concrètement le comportement de l’état
par un d i a g r a m m e i t é r a t i f : x est porté en abscisse, et l’on trace les graphes des
fonctions X f{x) et Ji t-^ Ji (P^ bissectrice). L’intersection des graphes fournit les
équilibres.
û
©
Figure 10.2- Diagramme itératif.
Au voisinage de l’équilibre 0 : convergence en spirale;
au voisinage de l’équilibre 1,8 ; divergence en escalier
X étant un équilibre, si f'{x ) < 0, on a un schéma (convergent ou divergent) en
s p i r a l e , dit encore en e s c a r g o t . C’est le cas de l’équilibre 0 sur la figure 10.2. Si
f'{x ) > 0, on a un schéma (convergent ou divergent) en e s c a l ie r . C’est le cas de
l’équilibre 1,8 sur la figure.
b ) C a s m u l t i d i m e n s i o n n e l : n q u e l c o n q u e . Pour la généralisation à
la différentielle V / (endomorphisme de R") se substituera à la dérivée / ' . C’est le spectre de
V / qui importe, et plus précisément les modules des valeurs propres.
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