Chapitre 10 • Systèmes à temps discret : équilibres et cycles
• T r a j e c t o i r e s d a n s E i c Eu
a) \A\ > 1 dim Ei = P : pour tout jcq g E /-{0}, lim ||/;coll = +00
-------k^oo
b) P > 1 dim E i = 2 p : pour tout x q e E i - { 0 } , lim
x q \\ = +oo
-----k^oo
Dans les 2 cas, l’équilibre 0 du système réduit à Ei est instable.
Théorème général de stabilité des systèmes linéaires à temps discret
A étant un endomorphisme quelconque réel de R”, la restriction du système linéaire à temps discret Xk+i = A. Xk à son sous-espace :
- stable Es est
- central Ec est
• asymptotiquement stable
• simplement stable si elle est semi-simple
• instable si elle n ’est pas semi-simple
- instable Eu est • instable
X J
O c D
Û
« JD
1 — H
O
rs]
(y)
S I
ai
>Q.
O
U
Nous avons donc un énoncé analogue à celui obtenu pour les systèmes linéaires à
temps continu.
10.3.3 Stabilité des équilibres d’un système non-linéaire
a ) C a s u n i d i m e n s i o n n e l : n = 1. Soit a: q un équilibre. Nous allons établir une condition de stabilité dans le cas d’un système réel. Supposons le système de classe C ’, et
faisons l’hypothèse | / ' ( jco )| < 1.
\f{x) - f(xo)\
Comme / est dérivable en xq, on a lim
= |/'(xo)|. Pour tout nombre
^^^0
U -
r > 0 compris strictement entre |/'U o)| et 1, ] - oo, r[ est un voisinage de | / ' ( jc o )|.
Donc, il existe 77 > 0 tel que :
|„ „1 ^ in
f{xa)\
l/(x)-xol ,
J, ,
X
, , ,
,
1-^ - -^ol ^ J
^
^
r
,
d ou \f(x) - .^ol < ^ U “ -^ol
| / ( a:) - a* oI e ] 0 , q [
|x-xol
U -.Î0I
\f(x )-f{ x o )\
\f{x)-X o \
< r, d’où If^ix) - .^ol < r ^ \x - xol
l/(-^ ) - -^ol
l/(.^ ) - Xol
Par récurrence : V/c 6 N ^ |x - xqI < 77 \ f ( x ) - xo\ < ï^ \ x - xqI
La convergence exponentielle de f^(x) vers xq montre que xq est un équilibre stable
et attractif, donc asymptotiquement stable.
On montre de même que si \f'(xQ)\ > 1, l’équilibre est instable et répulsif.
l/(-^o)l < 1
l/U o)l > 1
xo est attractif stable,
jco est répulsif instable.
En conclusion :
Dans le cas où / ' ( x q ) = 0, l’équilibre est dit s u p e r s t a b l e ou s u p e r - a t t r a c t i f .
150
• T r a j e c t o i r e s d a n s E i c Eu
a) \A\ > 1 dim Ei = P : pour tout jcq g E /-{0}, lim ||/;coll = +00
-------k^oo
b) P > 1 dim E i = 2 p : pour tout x q e E i - { 0 } , lim
x q \\ = +oo
-----k^oo
Dans les 2 cas, l’équilibre 0 du système réduit à Ei est instable.
Théorème général de stabilité des systèmes linéaires à temps discret
A étant un endomorphisme quelconque réel de R”, la restriction du système linéaire à temps discret Xk+i = A. Xk à son sous-espace :
- stable Es est
- central Ec est
• asymptotiquement stable
• simplement stable si elle est semi-simple
• instable si elle n ’est pas semi-simple
- instable Eu est • instable
X J
O c D
Û
« JD
1 — H
O
rs]
(y)
S I
ai
>Q.
O
U
Nous avons donc un énoncé analogue à celui obtenu pour les systèmes linéaires à
temps continu.
10.3.3 Stabilité des équilibres d’un système non-linéaire
a ) C a s u n i d i m e n s i o n n e l : n = 1. Soit a: q un équilibre. Nous allons établir une condition de stabilité dans le cas d’un système réel. Supposons le système de classe C ’, et
faisons l’hypothèse | / ' ( jco )| < 1.
\f{x) - f(xo)\
Comme / est dérivable en xq, on a lim
= |/'(xo)|. Pour tout nombre
^^^0
U -
r > 0 compris strictement entre |/'U o)| et 1, ] - oo, r[ est un voisinage de | / ' ( jc o )|.
Donc, il existe 77 > 0 tel que :
|„ „1 ^ in
f{xa)\
l/(x)-xol ,
J, ,
X
, , ,
,
1-^ - -^ol ^ J
^
^
r
,
d ou \f(x) - .^ol < ^ U “ -^ol
| / ( a:) - a* oI e ] 0 , q [
|x-xol
U -.Î0I
\f(x )-f{ x o )\
\f{x)-X o \
< r, d’où If^ix) - .^ol < r ^ \x - xol
l/(-^ ) - -^ol
l/(.^ ) - Xol
Par récurrence : V/c 6 N ^ |x - xqI < 77 \ f ( x ) - xo\ < ï^ \ x - xqI
La convergence exponentielle de f^(x) vers xq montre que xq est un équilibre stable
et attractif, donc asymptotiquement stable.
On montre de même que si \f'(xQ)\ > 1, l’équilibre est instable et répulsif.
l/(-^o)l < 1
l/U o)l > 1
xo est attractif stable,
jco est répulsif instable.
En conclusion :
Dans le cas où / ' ( x q ) = 0, l’équilibre est dit s u p e r s t a b l e ou s u p e r - a t t r a c t i f .
150