10.3. Équilibres
• Espace
de dimension 6 associé à des valeurs propres complexes conjuguées
¡Â ±ia> \
Le flot est : =
'{pR fk{pR f-' ]^k{k-\){pRf-^^
0
0
{pRY
0
kifjRY
(p RY
.Xq
La matrice est de dimension 6 x 6 , car chacun de ses 9 éléments figurés est une
matrice 2 x 2 .
•a
O c
1 3
û
y£)
O rsj
X I
>•
Q .
O
U
T r a je c to ir e s d a n s le s s o u s - e s p a c e s in v a r ia n ts
Les sous-ensembles invariants par A sont de dimension p ou 2p, p ayant été précédemment défini. Relativement à la stabilité, le comportement de xjc est de même
nature que dans le cas semi-simple, sauf dans le sous-espace central, dans lequel
l’équilibre 0 peut être stable ou instable, selon la valeur de p.
• T r a j e c t o i r e s d a n s E{ c
a) |/1| < 1 dim Ei = P : pour tout xq e Ej, lim
vq = 0
------------>oo
b) P < 1 dim Ej = 2p : pour tout vo e E/, lim
-----k— ^oo
libre 0 du système réduit à E/ est stable et attractif, donc asym ptotiquem ent
stable.
T r a j e c t o i r e s d a n s E , c E c
a) |/1| = 1 dim E[ = P : alors, d = ±1 et
se réduit à
= 2 1^1 (±1)^“"^
,n=o
Dans ces conditions, lorsque k ^ oo :
• ||vyS:|| reste borné si p = l ;
•
^
si P > 1, ceci pour tout xq 9^ ^ 0
P-i ( k \
b) P = 1 dim E/ = 2p : alors,
se réduit à
= J] (
diag[R^~^^^]
qui est
m=0 \P^j
un polynôme matriciel en k de degré p - 1. Dans ces conditions, lorsque k ^ oo :
• ||X)tl| reste borné si p = 1 ;
• \ U k \ \
si p > 1
Dans les 2 cas, le système réduit à E/ est :
- stable (mais pas asymptotiquement stable) si p = 1 ;
- instable si p > 1.
Q
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