Chapitre 10 • Systèmes à temps discret : équilibres et cycles
Comme
(3=
k{k- 1 ) • • • (A : - m + 1 )
m\
est un polynôme en k, le comportement pour
k grand est conditionné, comme dans les systèmes semi-simples, par la valeur absolue
de A.
T J
O
c
D
Û
kD 1-H
O
rsl
X I
g i
>Q.
O
U
2 Notons 2/7 la dimension de et / la matrice unité de dimensions 2 x 2 .
.
,
.
1 .
.
/cosé^-sinm
A peut etre mise sous la lorme A = p l . ^
^ , avec p
\sm ^ cos 6 }
=
+
R
R est la matrice de la rotation plane d’angle 6 tel que p = p cos 6 cico = p s\n 0.
^pR I
^
On a ainsi K =
I
p R
On remarque la ressemblance formelle avec J : au scalaire À correspond la matrice
P R, qui représente la similitude plane de rapport p et d’angle 0. Et au scalaire 1
correspond la matrice unité / de dimension 2x2. Enfin, N est définie comme au
§ 4.2.2, cas
. On obtient :
(avec la convention
- Î2n)
( k \
Comme I I est un polynôme en k, le comportement pour k grand est conditionné,
comme dans les systèmes semi-simples, par la valeur de p.
Les espaces E^, Ec et E^ se définissent comme dans le cas des systèmes semisimples (§ 1 0 . 3 . 1 ) , et on a toujours E =
® E c ® Eu.
Deux exemples de flot
Voici deux exemples de flot dans des espaces E, :
• Espace £, de dimension 3 associé à une valeur propre réelle À :
Le flot est : Xk =
V
-k(k2
0 /
kA’ ^-^
k
0 0
.Xo
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