10.3. Équilibres
■a
O c D
Û
y£ >
O r\i
(5)
‘s_
>.
C L
O
U
• T r a j e c t o i r e s d a n s Ei c Eu (pour X Q 0)
a) |/1 | > 1 dim £/= 1 ; x* = d* x q .
- si /1 > 1, les états
tendent vers ±oo en gardant le signe de xq ;
- si d < -1 , la suite des tend vers l’infini en valeur absolue et est alternée.
b) P > 1 dim Ei= 2 \ Xk = R{k0) xq.
Les Xk sont situés sur une spirale logarithmique. Leur distance
à 0 tend vers
l’infini quand k ^ oo.
Dans les deux cas a) et b), l’équilibre est instable et répulsif. Le système réduit à
Ei est instable.
10.3.2 Flot d’un système linéaire quelconque
Nous rappelons que dans une base convenable (voir l’annexe 4), A est bloc-diagonale,
les blocs (blocs de Jordan) ayant pour formes :
A 1
f l I
7 =
■
•. 1
■
I
<
les matrices 2 x 2 A et / sont A =
La forme J est associée à la valeur propre réelle À, la forme K aux valeurs propres
P ± ico. Comme dans le cas semi-simple, E est somme directe de sous-espaces E/
associés chacun à un bloc de forme J ou K. L’étude du flot se ramène à l’étude du
flot sur chacun des Ei. En effet, Xk = (¡){k, x q ) = A^ x q , et A^ est constituée de blocs
diagonaux de forme f l ou
.
[T| Notant P la dimension de J et Ip la matrice unité de dimensions p x p, nous
avons J = À Ip + N, où N est la matrice nilpotente d’ordre p constituée de zéros, à
l’exception de la surdiagonale constituée de « 1 ». Comme
est nulle pour q > p,
le développement de f l ne comporte que p termes :
y*' = / /p +
W +
+
+
iVP“ '
Tous les termes ont un sens car on s’intéresse au comportement de l’état lorsque
^ oo et on peut donc supposer k > p - 1. On peut écrire, plus globalement :
û
@
(avec la convention
- Ip).
147
■a
O c D
Û
y£ >
O r\i
(5)
‘s_
>.
C L
O
U
• T r a j e c t o i r e s d a n s Ei c Eu (pour X Q 0)
a) |/1 | > 1 dim £/= 1 ; x* = d* x q .
- si /1 > 1, les états
tendent vers ±oo en gardant le signe de xq ;
- si d < -1 , la suite des tend vers l’infini en valeur absolue et est alternée.
b) P > 1 dim Ei= 2 \ Xk = R{k0) xq.
Les Xk sont situés sur une spirale logarithmique. Leur distance
à 0 tend vers
l’infini quand k ^ oo.
Dans les deux cas a) et b), l’équilibre est instable et répulsif. Le système réduit à
Ei est instable.
10.3.2 Flot d’un système linéaire quelconque
Nous rappelons que dans une base convenable (voir l’annexe 4), A est bloc-diagonale,
les blocs (blocs de Jordan) ayant pour formes :
A 1
f l I
7 =
■
•. 1
■
I
<
les matrices 2 x 2 A et / sont A =
La forme J est associée à la valeur propre réelle À, la forme K aux valeurs propres
P ± ico. Comme dans le cas semi-simple, E est somme directe de sous-espaces E/
associés chacun à un bloc de forme J ou K. L’étude du flot se ramène à l’étude du
flot sur chacun des Ei. En effet, Xk = (¡){k, x q ) = A^ x q , et A^ est constituée de blocs
diagonaux de forme f l ou
.
[T| Notant P la dimension de J et Ip la matrice unité de dimensions p x p, nous
avons J = À Ip + N, où N est la matrice nilpotente d’ordre p constituée de zéros, à
l’exception de la surdiagonale constituée de « 1 ». Comme
est nulle pour q > p,
le développement de f l ne comporte que p termes :
y*' = / /p +
W +
+
+
iVP“ '
Tous les termes ont un sens car on s’intéresse au comportement de l’état lorsque
^ oo et on peut donc supposer k > p - 1. On peut écrire, plus globalement :
û
@
(avec la convention
- Ip).
147