T r a je c to ir e s d a n s le s s o u s - e s p a c e s in v a r ia n ts
E se décompose en sous-espaces vectoriels invariants par A de dimension 1 ou 2.
• T r a j e c t o i r e s d a n s E t c Eg
a) |d| < 1 dim Ej= \ ; Xk = xq.
- si d > 0, les états Xk tendent vers 0 en gardant le signe de xq ;
- si d < 0, la suite des x^ tend vers 0 et est alternée.
- si d = 0, X yt rallie la valeur 0 dès k = \.
Ce dernier cas est lié à l’exercice (très facile !) suivant.
Exercice 10.1 D e u x tr a je c to ir e s s é c a n te s
Pour un système l i n é a i r e à temps discret, donner un exemple de non-unicité de trajectoire (un Xk donné peut provenir de deux xq différents).
Chapitre 10 • Systèmes à temps discret : équilibres et cycles
b) P < 1 dim Ei=2\ Xk =
[^(6*)]^ -^o =
R{k0) xq.
R{a), rappelons-le, est dans
euclidien la matrice de la rotation d’angle a. Les Xk
sont angulairement équidistants (vus de 0) et sont situés sur une spirale logarithm ique. Leur distance p^ à 0 tend vers 0 quand k
oo.
Dans les deux cas a) et b), l’équilibre 0 étant stable et attractif, le système réduit à
Ei est asym ptotiquem ent stable.
Nous écartons 6 = Ooun, car on a alors la racine double réelle ±p et on se rattache
au cas a).
• T r a j e c t o i r e s d a n s E i c E c
a) |d| = 1 dim Ei= 1 ;
- si d = 1, la suite des Xk est constante.
- si d = - 1 , la suite des Xk est le cycle xq, - xq, xq, - xq, • • •
Le système réduit à E/ est sim plem ent stable.
b) P = 1 dim Ei= 2\ Xk = [R(0)Ÿ -^o = P^ R(k6 ) xq.
Les Xk sont situés sur un cercle.
- si OIn G Q, la trajectoire est périodique ; l’orbite est un polygone régulier ;
- si OItï ^ Q , l’orbite est dense sur le cercle de centre 0 et de rayon |xol (application
de l’exercice 8.2).
Le système réduit à E, est sim plem ent stable.
k
^
_
J :
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
X I
O J
>Q .
O
U
146
E se décompose en sous-espaces vectoriels invariants par A de dimension 1 ou 2.
• T r a j e c t o i r e s d a n s E t c Eg
a) |d| < 1 dim Ej= \ ; Xk = xq.
- si d > 0, les états Xk tendent vers 0 en gardant le signe de xq ;
- si d < 0, la suite des x^ tend vers 0 et est alternée.
- si d = 0, X yt rallie la valeur 0 dès k = \.
Ce dernier cas est lié à l’exercice (très facile !) suivant.
Exercice 10.1 D e u x tr a je c to ir e s s é c a n te s
Pour un système l i n é a i r e à temps discret, donner un exemple de non-unicité de trajectoire (un Xk donné peut provenir de deux xq différents).
Chapitre 10 • Systèmes à temps discret : équilibres et cycles
b) P < 1 dim Ei=2\ Xk =
[^(6*)]^ -^o =
R{k0) xq.
R{a), rappelons-le, est dans
euclidien la matrice de la rotation d’angle a. Les Xk
sont angulairement équidistants (vus de 0) et sont situés sur une spirale logarithm ique. Leur distance p^ à 0 tend vers 0 quand k
oo.
Dans les deux cas a) et b), l’équilibre 0 étant stable et attractif, le système réduit à
Ei est asym ptotiquem ent stable.
Nous écartons 6 = Ooun, car on a alors la racine double réelle ±p et on se rattache
au cas a).
• T r a j e c t o i r e s d a n s E i c E c
a) |d| = 1 dim Ei= 1 ;
- si d = 1, la suite des Xk est constante.
- si d = - 1 , la suite des Xk est le cycle xq, - xq, xq, - xq, • • •
Le système réduit à E/ est sim plem ent stable.
b) P = 1 dim Ei= 2\ Xk = [R(0)Ÿ -^o = P^ R(k6 ) xq.
Les Xk sont situés sur un cercle.
- si OIn G Q, la trajectoire est périodique ; l’orbite est un polygone régulier ;
- si OItï ^ Q , l’orbite est dense sur le cercle de centre 0 et de rayon |xol (application
de l’exercice 8.2).
Le système réduit à E, est sim plem ent stable.
k
^
_
J :
T J
O
c
rj
û
« JD
tH
O
CM
(y)
X I
O J
>Q .
O
U
146