■a O c
Û
tH
o
f N J
x: C T >
>Q.
O
u
Q
@
10.3. Équilibres
=
0
4
/\*
^7+1
0
A
Le rôle joué en temps continu par
(resp.
0 est joué ici par Af (resp. A p dont le
comportement pour k ^ oo dépend du m od u le de A/ (resp. pj).
Comme en temps continu, E =
(avec n = 2q - l > q) QSi la somme directe de
q sous-espaces vectoriels invariants par A : E = E\ ® E2 ® ‘ • B E^^. Les Ei étant
invariants par A, l’étude du flot se ramène à V étude du f lo t su r ch a cu n des Ei, donc
sur des sous-espaces vectoriels de dimension 1 (associés à A,) ou 2 (associés à Aj).
Le flot s’exprime en effet au moyen d’une matrice diagonale par blocs, les blocs étant
de dimension 1 ou 2, R(kû) étant la matrice 2 x 2 de la rotation d’angle kû :
Xk = (¡)(k, xo) =
^diag [ A^ ]
.
0
0
diag[p7/î(À:e)l,
.Xo
Cette forme montre qu’au sein de chaque sous-espace E/ la stabilité de l’équilibre 0
est conditionnée par le m odu le de A ou de p correspondant à E/.
Lorsque k tend vers l’infini, A^ tend vers 0 si \A\ < 1, vaut ±1 si |/1| = 1, et tend vers
l’infini en module si |d| > 1. Comme la même constatation vaut pour p, il est naturel
de définir ainsi les sous-espaces Eg, Ec et E^ :
1) E^=sous-espace s t a b l e de A
somme directe des sous- 1 ) i n f é r i e u r à 1
2) Ec=sous-espace c e n t r a l de A
esp. E/ associés à des 2) é g a l à 1
3) Ei,=sous-espace i n s t a b l e de A
v.p. de module :
3) s u p é r i e u r à 1
Comme pour les systèmes à temps continu, les indices s, c et u désignent les adjectifs
anglais « stable », « central » et « unstable ».
On a naturellement : E — Eg B Ec ® Eu.
Ce résultat est formellement identique à celui obtenu en temps continu au § 4.2.1.
En ce qui concerne l’influence des zones d’appartenance des valeurs propres de A
sur la stabilité, nous venons d’observer (et continuerons dans la suite à observer) la
correspondance temps continu / temps discret suivante :
tem ps con tin u
/ tem ps discret
plan complexe
/ plan complexe
axe imaginaire / cercle unité
demi-plan gauche / intérieur du cercle unité
demi-plan droit / extérieur du cercle unité
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Le rôle joué en temps continu par
(resp.
0 est joué ici par Af (resp. A p dont le
comportement pour k ^ oo dépend du m od u le de A/ (resp. pj).
Comme en temps continu, E =
(avec n = 2q - l > q) QSi la somme directe de
q sous-espaces vectoriels invariants par A : E = E\ ® E2 ® ‘ • B E^^. Les Ei étant
invariants par A, l’étude du flot se ramène à V étude du f lo t su r ch a cu n des Ei, donc
sur des sous-espaces vectoriels de dimension 1 (associés à A,) ou 2 (associés à Aj).
Le flot s’exprime en effet au moyen d’une matrice diagonale par blocs, les blocs étant
de dimension 1 ou 2, R(kû) étant la matrice 2 x 2 de la rotation d’angle kû :
Xk = (¡)(k, xo) =
^diag [ A^ ]
.
0
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.Xo
Cette forme montre qu’au sein de chaque sous-espace E/ la stabilité de l’équilibre 0
est conditionnée par le m odu le de A ou de p correspondant à E/.
Lorsque k tend vers l’infini, A^ tend vers 0 si \A\ < 1, vaut ±1 si |/1| = 1, et tend vers
l’infini en module si |d| > 1. Comme la même constatation vaut pour p, il est naturel
de définir ainsi les sous-espaces Eg, Ec et E^ :
1) E^=sous-espace s t a b l e de A
somme directe des sous- 1 ) i n f é r i e u r à 1
2) Ec=sous-espace c e n t r a l de A
esp. E/ associés à des 2) é g a l à 1
3) Ei,=sous-espace i n s t a b l e de A
v.p. de module :
3) s u p é r i e u r à 1
Comme pour les systèmes à temps continu, les indices s, c et u désignent les adjectifs
anglais « stable », « central » et « unstable ».
On a naturellement : E — Eg B Ec ® Eu.
Ce résultat est formellement identique à celui obtenu en temps continu au § 4.2.1.
En ce qui concerne l’influence des zones d’appartenance des valeurs propres de A
sur la stabilité, nous venons d’observer (et continuerons dans la suite à observer) la
correspondance temps continu / temps discret suivante :
tem ps con tin u
/ tem ps discret
plan complexe
/ plan complexe
axe imaginaire / cercle unité
demi-plan gauche / intérieur du cercle unité
demi-plan droit / extérieur du cercle unité
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