Chapitre 10 • Systèmes à temps discret : équilibres et cycles
10.3 Equilibres
Soit un système xic+\ = /(x^), avec
6
Définition
X est un é q u i l i b r e si et seulement si /(x ) = x.
Comme en temps continu, un équilibre est encore appelé point fixe, ou point
d’équilibre, ou point stationnaire, parfois point critique.
Si X n’est pas un équilibre, c’est un p o i n t r é g u l i e r .
Dans le cas d’un système linéaire /(x ) = A x, l’ensemble des équilibres x vérifie
A X = X , d’où (A - /) X = 0. L’ensemble S des équilibres est alors Ker(A - /) : c’est
un sous-espace vectoriel de R'^ ; il contient toujours le point 0.
Les notions de s t a b i l i t é , a t t r a c t i v i t é , i n s t a b i l i t é et autres notions conjointes se
définissent comme en temps continu. On peut donc reprendre formellement les définitions déjà vues : on substitue seulement au temps continu t un temps discret k. Les
notions de puits, sources, équilibres attractifs ou répulsifs, etc. subsistent également.
Le cas des systèmes linéaires se traite par une approche analogue à celle faite en
temps continu. Dans une base convenable de l’espace d’état, l’équation d’évolution
est x^+i = A xa', la matrice A étant sous forme réduite de Jordan.
Par une récurrence évidente, on obtient l’expression explicite du flot :
Xk = (/)(k, xq) = A^ XQ
■a O
c
=3
Q
tH
O
f M
(y)
C T
‘s_
>.
Q.
O
U
10.3.1 Flot des systèmes linéaires semi-simples
Dans le cas d’un système semi-simple, on a :
a ) C a s o ù A e s t s e m i - s i m p l e
d,
A =
0
Al
Al -H l
0
A.
avec A; =
,
cosO j-sm O A
fR
On écrira ici plus opportunément A,- = p/ . /
J L avecp/ = ./p
^ \smOj cos Oj
y J
J J j
0 ) 1
cos 0i = — et sin 0/ = — . Les valeurs propres de A sont les A/ et les p/ e
pj
+ cüA.,
j'
±î6 i
P j
144
10.3 Equilibres
Soit un système xic+\ = /(x^), avec
6
Définition
X est un é q u i l i b r e si et seulement si /(x ) = x.
Comme en temps continu, un équilibre est encore appelé point fixe, ou point
d’équilibre, ou point stationnaire, parfois point critique.
Si X n’est pas un équilibre, c’est un p o i n t r é g u l i e r .
Dans le cas d’un système linéaire /(x ) = A x, l’ensemble des équilibres x vérifie
A X = X , d’où (A - /) X = 0. L’ensemble S des équilibres est alors Ker(A - /) : c’est
un sous-espace vectoriel de R'^ ; il contient toujours le point 0.
Les notions de s t a b i l i t é , a t t r a c t i v i t é , i n s t a b i l i t é et autres notions conjointes se
définissent comme en temps continu. On peut donc reprendre formellement les définitions déjà vues : on substitue seulement au temps continu t un temps discret k. Les
notions de puits, sources, équilibres attractifs ou répulsifs, etc. subsistent également.
Le cas des systèmes linéaires se traite par une approche analogue à celle faite en
temps continu. Dans une base convenable de l’espace d’état, l’équation d’évolution
est x^+i = A xa', la matrice A étant sous forme réduite de Jordan.
Par une récurrence évidente, on obtient l’expression explicite du flot :
Xk = (/)(k, xq) = A^ XQ
■a O
c
=3
Q
tH
O
f M
(y)
C T
‘s_
>.
Q.
O
U
10.3.1 Flot des systèmes linéaires semi-simples
Dans le cas d’un système semi-simple, on a :
a ) C a s o ù A e s t s e m i - s i m p l e
d,
A =
0
Al
Al -H l
0
A.
avec A; =
,
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On écrira ici plus opportunément A,- = p/ . /
J L avecp/ = ./p
^ \smOj cos Oj
y J
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cos 0i = — et sin 0/ = — . Les valeurs propres de A sont les A/ et les p/ e
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