10.2. Notions de base
On appelle :
• t r a j e c t o i r e du système une solution
> • • • »
... de l’équation (S d), c’est-àdire un ensemble discret de points de
pourvus individuellement d’une étiquette
« temps » ;
• o r b i t e l’ensemble des correspondants.
Alors que la trajectoire est un ensemble gradué en k (temps), l’orbite est un ensemble
non gradué. Dans les ouvrages et articles sur le sujet, on pourra trouver quelques
écarts par rapport à ces définitions ; les deux termes sont parfois présentés comme
synonymes, avec l’une ou l’autre des deux définitions. Nous avions fait une remarque
analogue pour les systèmes à temps continu.
Quelle que soit la régularité de la fonction / , il y a déterminisme : la connaissance
de Xi entraîne celle de tous les xj (où j > i). Mais il n’y a pas nécessairement déduction du passé, comme le montre l’exemple élémentaire xi^+\ =
pour lequel tout
état positif a deux antécédents possibles, opposés. En temps discret, on n’a donc pas
l’équivalent du théorème de Cauchy.
Le f lo t se définit comme pour les systèmes à temps continu : le flot du système
dynamique est l’application qui au couple (k, xq) associe x^. Connaître le flot du
système revient donc à connaître l’application (p(k, xq) ainsi définie :
xo) est rétat à Finstant k du système d^état initial xq.
Naturellement, compte tenu de ce qui précède, les valeurs de k dans la définition du
flot ne peuvent être que positives ou nulles.
"D O
C
rj
û
« JD
tH
O
C M
(y)
X I
ai
>.
Q.
O
U
R e m a r q u e s
• L’échantillonnage au pas temporel /? de l’état d’un système S à temps continu
X = g(x) de flot
x) définit un système à temps discret S n , ceci quel que soit h.
En effet, si on pose x^ = x{kh) pour â : e N ou Z, on a Xk+\ = (p{h, x^) : cette dernière
fonction n’est autre que la fonction f{x k ) définissant l’équation d’évolution de SoLa définition de Xk n’est toutefois opérante que si kh e J ( xq), plage temporelle de xo,
c’est-à-dire l’ensemble des temps k e N pour lesquels Xk est défini.
• Mais un système à temps discret n e r é s u lt e p a s nécessairement de l’échantillonnage d’un système à temps continu. Par exemple, dans R, les trajectoires du système Xk+\ = -Xk sont des cycles {a,-a, a,-a,...) : ils ne peuvent pas provenir de
l’échantillonnage d’une trajectoire définie en temps continu sur E, car une telle
trajectoire ne repasse jamais par un point qu’elle a quitté.
û
©
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On appelle :
• t r a j e c t o i r e du système une solution
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... de l’équation (S d), c’est-àdire un ensemble discret de points de
pourvus individuellement d’une étiquette
« temps » ;
• o r b i t e l’ensemble des correspondants.
Alors que la trajectoire est un ensemble gradué en k (temps), l’orbite est un ensemble
non gradué. Dans les ouvrages et articles sur le sujet, on pourra trouver quelques
écarts par rapport à ces définitions ; les deux termes sont parfois présentés comme
synonymes, avec l’une ou l’autre des deux définitions. Nous avions fait une remarque
analogue pour les systèmes à temps continu.
Quelle que soit la régularité de la fonction / , il y a déterminisme : la connaissance
de Xi entraîne celle de tous les xj (où j > i). Mais il n’y a pas nécessairement déduction du passé, comme le montre l’exemple élémentaire xi^+\ =
pour lequel tout
état positif a deux antécédents possibles, opposés. En temps discret, on n’a donc pas
l’équivalent du théorème de Cauchy.
Le f lo t se définit comme pour les systèmes à temps continu : le flot du système
dynamique est l’application qui au couple (k, xq) associe x^. Connaître le flot du
système revient donc à connaître l’application (p(k, xq) ainsi définie :
xo) est rétat à Finstant k du système d^état initial xq.
Naturellement, compte tenu de ce qui précède, les valeurs de k dans la définition du
flot ne peuvent être que positives ou nulles.
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• L’échantillonnage au pas temporel /? de l’état d’un système S à temps continu
X = g(x) de flot
x) définit un système à temps discret S n , ceci quel que soit h.
En effet, si on pose x^ = x{kh) pour â : e N ou Z, on a Xk+\ = (p{h, x^) : cette dernière
fonction n’est autre que la fonction f{x k ) définissant l’équation d’évolution de SoLa définition de Xk n’est toutefois opérante que si kh e J ( xq), plage temporelle de xo,
c’est-à-dire l’ensemble des temps k e N pour lesquels Xk est défini.
• Mais un système à temps discret n e r é s u lt e p a s nécessairement de l’échantillonnage d’un système à temps continu. Par exemple, dans R, les trajectoires du système Xk+\ = -Xk sont des cycles {a,-a, a,-a,...) : ils ne peuvent pas provenir de
l’échantillonnage d’une trajectoire définie en temps continu sur E, car une telle
trajectoire ne repasse jamais par un point qu’elle a quitté.
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