Chapitre 10 • Systèmes à temps discret : équilibres et cycles
T J
O
c
= 3
Q
tH
O
( N
O J
‘s_
>.
Q.
O
U
Figure 1 0.1 - Le premier retour.
10.2 Notions DE BASE
Pour les systèmes à temps discret, nous retrouvons des notions sinon identiques, tout
au moins analogues à celles déjà définies pour les systèmes à temps continu.
L ’é t a t X G
évolue en fonction du temps, qui est par nature discret : nous le
notons k. Il appartient dans la majorité des cas à l’ensemble des entiers naturels ou
relatifs : G N ou Z . La valeur x(k) de x h l’instant k sera notée x^.
On peut accéder à la connaissance de Xf^ :
• soit par une formule explicite xi^ = (p(k) ;
• soit par une loi de récurrence regroupant la valeur initiale xq et une équation d’évolution Xk+\ = f(xk). C’est cette forme qui s’apparente le plus à ce que nous avons
traité en temps continu ;
• soit par tout autre moyen.
À l’image de ce que nous avons fait en temps continu, le système étudié est :
Xk+\ = f ( X k )
(S d)
dans lequel / est une fonction de classe C' sur un ouvert
c R". En temps discret, nous n’exigeons pas la connexité de O. On en saisit les raisons en considérant
l’exemple très simple x^+i = -Xk sur O = R*, non-connexe.
On a donc
= / ( a-q), X2 = /(-Tl),X k = f( x k -i) , ...
Ainsi, si O représente la composition des applications, on a :
Xk = f ’^(xo), avec
= f ^ f ^
^ f (application parfois notée aussi /°^’).
k fo is
142