S y s t è m e s à t e m p s
D I S C R E T : É Q U I L I B R E S
E T C Y C L E S
■a O c
1 3
Q
vû rH
O r\i
(5)
D I
‘s_
>Q .
O
U
û
@
Les systèmes à temps discret, par la variété et la difficulté des problèmes qu’ils
posent, sont déjà intrinsèquement intéressants. En outre, certaines notions nécessaires
pour définir le chaos en temps continu, objet du chapitre 11, font appel à la dynamique
des systèmes à temps discret.
10.1 Introduction
Certains systèmes font intervenir des grandeurs qui sont par nature à temps discret,
par exemple :
• de nombreux cas en théorie des jeux ;
• un indice boursier lors de l’ouverture ou de la clôture de séance ;
• la distance Terre-Soleil lors des périhélies successifs.
En tout état de cause, la connaissance des systèmes à temps discret s’impose lors de
l’étude des systèmes à temps continu, ceci pour plusieurs raisons.
- Pour effectuer la résolution numérique d’un système différentiel à temps conti- nu,
on discrétise le temps à un pas fini h et grâce à un développement de Taylor, on
remplace le système initial par un système d’équations aux différences, qui devient
par essence à temps discret (voir l’annexe 7). Les ordinateurs ne connaissent pas
le continu.
- En dehors même de la logique précédente, l’échantillonnage à la période h (ou
même à des intervalles non rigoureusement égaux, comme l’exemple « TerreSoleil » ci-dessus) d’un système à temps continu conduit à un système à temps
discret.
- En temps continu, les trajectoires issues d’un point .vq peuvent rencontrer une
variété transverse (non tangente au flot) en des points successifs x\, X2, ... (figure 10.1) qui définissent un système à temps discret, de trajectoire k e W
x^.
Il s’agit de l ’a p p l i c a t i o n d e p r e m i e r r e t o u r , notion introduite par Poincaré et qui
se révèle particulièrement fructueuse, ne serait-ce que parce que la dynamique sur
la variété transverse est d’une dimension inférieure à celle du système initial. Nous
rencontrerons au chapitre suivant cette application.
141
D I S C R E T : É Q U I L I B R E S
E T C Y C L E S
■a O c
1 3
Q
vû rH
O r\i
(5)
D I
‘s_
>Q .
O
U
û
@
Les systèmes à temps discret, par la variété et la difficulté des problèmes qu’ils
posent, sont déjà intrinsèquement intéressants. En outre, certaines notions nécessaires
pour définir le chaos en temps continu, objet du chapitre 11, font appel à la dynamique
des systèmes à temps discret.
10.1 Introduction
Certains systèmes font intervenir des grandeurs qui sont par nature à temps discret,
par exemple :
• de nombreux cas en théorie des jeux ;
• un indice boursier lors de l’ouverture ou de la clôture de séance ;
• la distance Terre-Soleil lors des périhélies successifs.
En tout état de cause, la connaissance des systèmes à temps discret s’impose lors de
l’étude des systèmes à temps continu, ceci pour plusieurs raisons.
- Pour effectuer la résolution numérique d’un système différentiel à temps conti- nu,
on discrétise le temps à un pas fini h et grâce à un développement de Taylor, on
remplace le système initial par un système d’équations aux différences, qui devient
par essence à temps discret (voir l’annexe 7). Les ordinateurs ne connaissent pas
le continu.
- En dehors même de la logique précédente, l’échantillonnage à la période h (ou
même à des intervalles non rigoureusement égaux, comme l’exemple « TerreSoleil » ci-dessus) d’un système à temps continu conduit à un système à temps
discret.
- En temps continu, les trajectoires issues d’un point .vq peuvent rencontrer une
variété transverse (non tangente au flot) en des points successifs x\, X2, ... (figure 10.1) qui définissent un système à temps discret, de trajectoire k e W
x^.
Il s’agit de l ’a p p l i c a t i o n d e p r e m i e r r e t o u r , notion introduite par Poincaré et qui
se révèle particulièrement fructueuse, ne serait-ce que parce que la dynamique sur
la variété transverse est d’une dimension inférieure à celle du système initial. Nous
rencontrerons au chapitre suivant cette application.
141