Chapitre 9 • Bifurcations locales
P o u r / / < 0 : h o r s d e l ’é q u ilib r e , p = ¡up -
se c o m p o r te p o u r p fa ib le c o m m e p p :
il y a d é c r o is s a n c e e x p o n e n tie lle d e p. O n a u n fo y e r attractif.
P o u r / / = 0 : p = - p ^ s ’in té g r e e n p"^ =
2 _
p I
1 + 2 p h
1
( n a is s a n c e im p lo s iv e k t = ti = -------- ) .
2Po
Il y a d é c r o is s a n c e « m o lle » d e p , é q u iv a le n t à II y 2 t
O n a to u jo u r s u n fo y er attractif.
P o u r p > 0 : p = 0 p o u r p = ^fp. L ’é q u ilib r e 0 s u b s is te m a is c h a n g e d e n a tu r e : il
d e v ie n t u n fo y er répulsif.
Il y a a p p a r itio n d ’u n cycle-lim ite stable, q u i e s t le c e rc le p = ^¡p.
TJ
O
c
U
Q
i-H
O
rs l
(y)
gj
' i— > ■
C L
O
U
L e s y s tè m e m ir o ir x = -f(x) se d é d u it d u p r é c é d e n t e n in v e r s a n t le c o u rs d u
te m p s . L a b if u r c a tio n e s t to u jo u r s d ite b if u r c a tio n d e H o p f , m a is le s é q u ilib r e s A, B
e t C d e v ie n n e n t d e s f o y e r s r é p u ls if s (A e t B) e t a ttr a c tif (C ). Il y a m o rt e x p lo s iv e
p o u r to u te v a le u r d e p.
138