9.4. Bifurcations locales en dimension supérieure à 1
Exercice 9.1 Bifurcation d’un système polynomial de dimension /
O n c o n s id è r e le s y s tè m e x = p x(x^ - p^), où x e R ,p é ta n t u n p a r a m è tr e ré e l.
1. D é te r m in e r s e s é q u ilib r e s . L in é a r is e r le s y s tè m e a u to u r d e c h a c u n d ’e n tr e e u x .
2 . T r a c e r e t c o m m e n te r le d ia g r a m m e d e b if u r c a tio n d u s y s tè m e .
Exercice 9.2 Bifurcation d’un système non-linéaire de dimension 1
O n c o n s id è r e le s y s tè m e x = p x - sin x, où x eR , ot p e [2/n, + o o [.
1. M o n tr e r q u e , p o u r u n e p la g e d e v a le u rs d e p q u ’o n d é te r m in e r a , le s y s tè m e
p o s s è d e tro is é q u ilib r e s d o n t d e u x o p p o s é s q u ’o n n o te r a -a { p ) (n é g a tif ) e t a(p)
( p o s itif ).
2 . T r a c e r le p o r tr a it d e p h a s e s d u s y s tè m e . E n d é d u ir e la n a tu r e d e s é q u ilib r e s .
3 . C e p o r tr a it a tte s te -t- il u n e b if u r c a tio n ? S i o u i : d e q u e l ty p e ?
4 . P o u r q u e lle s v a le u r s d e p la f o n c tio n F{x) = x^ e s t e lle u n e fo n c tio n d e L ia p o u -
n o v a u v o is in a g e d e l ’é q u ilib r e z é ro ?
■a
O
c
D
Q
kD
O
rs]
ai
>C L
O
U
9.4 Bif u r c a t io n s l o c a l e s en d im en sio n
SUPÉRIEURE À 1
L a v a rié té d e s b if u r c a tio n s e s t d é jà trè s g r a n d e e n d im e n s io n 1. E lle l ’e s t e n c o r e
p lu s e n d im e n s io n s u p é r ie u r e à 1 : a u s s i n o u s lim ite r o n s - n o u s à l ’e x e m p le le p lu s
c la s s iq u e , q u i e s t c e lu i d e la bifurcation de Hopf e n d im e n s io n 2.
Il n e s ’a g it p lu s d e la s c is s io n o u f u s io n d ’é q u ilib r e s c o m m e e n d im e n s io n 1, m a is
d e la d is p a r itio n d ’u n é q u ilib r e a u p r o fit d ’u n é q u ilib r e d e n a tu r e d iff é re n te e t d ’u n
cycle-lim ite, n o tio n in c o n n u e e n d im e n s io n 1. O n se p la c e s u r Q = R ^ , p la n e u c lid ie n
s u r le q u e l o n d é fin it le flo t s u iv a n t e n c o o r d o n n é e s p o la ir e s :
p = pp-p~
è = 1
û
@
C e s y s tè m e r e p r é s e n te b ie n u n flo t, c a r h o r s d e l ’é q u ilib r e u n iq u e 0, la d e u x iè m e
é q u a tio n e s t d é fin ie s a n s a m b ig u ïté . Q u e l q u e s o it p, l ’é q u iv a le n c e d e p e t -p^
p o u r p g r a n d im p liq u e l ’e x is te n c e d ’u n e n a is s a n c e im p lo s iv e ; p o u r le m o n tr e r, le
p r o b lè m e 1.1 d o n n e u n s c h é m a d e r a is o n n e m e n t.
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Exercice 9.1 Bifurcation d’un système polynomial de dimension /
O n c o n s id è r e le s y s tè m e x = p x(x^ - p^), où x e R ,p é ta n t u n p a r a m è tr e ré e l.
1. D é te r m in e r s e s é q u ilib r e s . L in é a r is e r le s y s tè m e a u to u r d e c h a c u n d ’e n tr e e u x .
2 . T r a c e r e t c o m m e n te r le d ia g r a m m e d e b if u r c a tio n d u s y s tè m e .
Exercice 9.2 Bifurcation d’un système non-linéaire de dimension 1
O n c o n s id è r e le s y s tè m e x = p x - sin x, où x eR , ot p e [2/n, + o o [.
1. M o n tr e r q u e , p o u r u n e p la g e d e v a le u rs d e p q u ’o n d é te r m in e r a , le s y s tè m e
p o s s è d e tro is é q u ilib r e s d o n t d e u x o p p o s é s q u ’o n n o te r a -a { p ) (n é g a tif ) e t a(p)
( p o s itif ).
2 . T r a c e r le p o r tr a it d e p h a s e s d u s y s tè m e . E n d é d u ir e la n a tu r e d e s é q u ilib r e s .
3 . C e p o r tr a it a tte s te -t- il u n e b if u r c a tio n ? S i o u i : d e q u e l ty p e ?
4 . P o u r q u e lle s v a le u r s d e p la f o n c tio n F{x) = x^ e s t e lle u n e fo n c tio n d e L ia p o u -
n o v a u v o is in a g e d e l ’é q u ilib r e z é ro ?
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9.4 Bif u r c a t io n s l o c a l e s en d im en sio n
SUPÉRIEURE À 1
L a v a rié té d e s b if u r c a tio n s e s t d é jà trè s g r a n d e e n d im e n s io n 1. E lle l ’e s t e n c o r e
p lu s e n d im e n s io n s u p é r ie u r e à 1 : a u s s i n o u s lim ite r o n s - n o u s à l ’e x e m p le le p lu s
c la s s iq u e , q u i e s t c e lu i d e la bifurcation de Hopf e n d im e n s io n 2.
Il n e s ’a g it p lu s d e la s c is s io n o u f u s io n d ’é q u ilib r e s c o m m e e n d im e n s io n 1, m a is
d e la d is p a r itio n d ’u n é q u ilib r e a u p r o fit d ’u n é q u ilib r e d e n a tu r e d iff é re n te e t d ’u n
cycle-lim ite, n o tio n in c o n n u e e n d im e n s io n 1. O n se p la c e s u r Q = R ^ , p la n e u c lid ie n
s u r le q u e l o n d é fin it le flo t s u iv a n t e n c o o r d o n n é e s p o la ir e s :
p = pp-p~
è = 1
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C e s y s tè m e r e p r é s e n te b ie n u n flo t, c a r h o r s d e l ’é q u ilib r e u n iq u e 0, la d e u x iè m e
é q u a tio n e s t d é fin ie s a n s a m b ig u ïté . Q u e l q u e s o it p, l ’é q u iv a le n c e d e p e t -p^
p o u r p g r a n d im p liq u e l ’e x is te n c e d ’u n e n a is s a n c e im p lo s iv e ; p o u r le m o n tr e r, le
p r o b lè m e 1.1 d o n n e u n s c h é m a d e r a is o n n e m e n t.
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