9.4. Bifurcations locales en dimension supérieure à 1
■a
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c
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1 — 1
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CM
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C L
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Problème 9.1 Un système non-linéaire de dimension 2
O n c o n s id è r e le s y s tè m e z = / ( z ) , d a n s le q u e l z e t / ( z ) a p p a r tie n n e n t à
e u c lid ie n .
E n p o s a n t z = I l e t ||z|| = r, / a p o u r e x p r e s s io n
ju é ta n t u n p a r a m è tr e ré e l.
1. V é r if ie r q u e ||z |P = r^[l + yw^(l - r^Ÿ].
2 . E n d é d u ir e q u e zo = 0 e s t le s e u l é q u ilib r e d u s y s tè m e .
3 . D é te r m in e r la d iff é re n tie lle V / d u c h a m p / .
4 . (a ) D is c u te r d e la s ta b ilité d e l ’é q u ilib r e zo e n f o n c tio n d e ju.
(b ) L e s y s tè m e p r é s e n te - t- il d e s b if u r c a tio n s ?
5 . T r a c e r le s tro is p o r tr a its d e p h a s e s c o r r e s p o n d a n t r e s p e c tiv e m e n t kju = 0,
/J = -\
¡J = 1.
6. M o n tr e r q u e , p o u r ju = 1, il y a u n c y c le - lim ite , q u ’o n d é te r m in e ra .
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Problème 9.1 Un système non-linéaire de dimension 2
O n c o n s id è r e le s y s tè m e z = / ( z ) , d a n s le q u e l z e t / ( z ) a p p a r tie n n e n t à
e u c lid ie n .
E n p o s a n t z = I l e t ||z|| = r, / a p o u r e x p r e s s io n
ju é ta n t u n p a r a m è tr e ré e l.
1. V é r if ie r q u e ||z |P = r^[l + yw^(l - r^Ÿ].
2 . E n d é d u ir e q u e zo = 0 e s t le s e u l é q u ilib r e d u s y s tè m e .
3 . D é te r m in e r la d iff é re n tie lle V / d u c h a m p / .
4 . (a ) D is c u te r d e la s ta b ilité d e l ’é q u ilib r e zo e n f o n c tio n d e ju.
(b ) L e s y s tè m e p r é s e n te - t- il d e s b if u r c a tio n s ?
5 . T r a c e r le s tro is p o r tr a its d e p h a s e s c o r r e s p o n d a n t r e s p e c tiv e m e n t kju = 0,
/J = -\
¡J = 1.
6. M o n tr e r q u e , p o u r ju = 1, il y a u n c y c le - lim ite , q u ’o n d é te r m in e ra .
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