9.3. Bifurcations locales en dimension 1
Figure 9 .4 - Bifurcation locale polynomiale.
L e s b if u r c a tio n s n o n - tr iv ia le s le s p lu s c o u r a n te s c o r r e s p o n d e n t a u x p o ly n ô m e s d e
T a y lo r d e p lu s f a ib le d e g ré e n (x , ¡j). E lle s f o n t l ’o b je t d e s p a r a g r a p h e s s u iv a n ts .
9.3.1 Bifurcation nœud-col
L a bifurcation nœud-col c o r r e s p o n d à « lo = - 1 e t «02 = L to u s a u tre s aij é ta n t n u is .
, s y s tè m e d o n t l ’a n a ly s e e s t a is é e :
O n a d o n c
2
X = X
• p o u r yu < 0, il n ’y a a u c u n é q u ilib r e ;
• p o u r yu = 0, X = 0 e s t u n é q u ilib r e in s ta b le ; p lu s p r é c is é m e n t il e s t « s ta b le à
g a u c h e » e t « in s ta b le à d r o ite », d o n c s e m i- s ta b le ;
• p o u r yu > 0, il y a d e u x é q u ilib r e s : l ’é q u ilib r e a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le - ^¡jl t i
l ’é q u ilib r e in s ta b le ^¡jl.
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Figure 9 .5 - Diagramme de la bifurcation nœud-col.
Remarque
L’intitulé « nœud-col », on le voit, signifie « nœud -f col » et non « nœud
on passe de zéro équilibre à 2 équilibres (un nœud et un col).
col ». Car
9 .3 . 2 Bifurcation d’échange de stabilité (transcritique)
L a bifurcation transcritique c o r r e s p o n d à a i 1 = - 1 e t ^02 = 1. to u s a u tre s aij é ta n t
n u is . O n a d o n c X = X - j u x
s y s tè m e p r é s e n ta n t u n o u d e u x é q u ilib r e s :
p o u r yu < 0, il y a l ’é q u ilib r e a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le jj e t l ’é q u ilib r e in s ta b le 0 ;
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