Chapitre 9 • Bifurcations locales
L ’a n a ly s e d e s b if u r c a tio n s p e u t u tile m e n t ê tr e m e n é e à p a r tir d u d é v e lo p p e m e n t d e
T a y lo r d e f{ x , ju) r e la tiv e m e n t a u x d e u x v a ria b le s x q î /j :
f ( x , ¡ j ) = ¿700 + ^ 1 0 + ^0 1 ^ + ^ 2 0 /7^ + ¿7i 1 /7 X + ¿7o2 X ^ + ' - -
A u p rix d ’u n s im p le d é c a la g e e n jc e t e n /7, o n r e c h e r c h e u n e b ifu r c a tio n e n (0 , 0 ).
O n a a lo r s «oo = 0 , e t la c o n d itio n V / = 0 im p o s e d e p lu s ao\ = 0 . L e s d iv e rs s c h é m a s
d e b if u r c a tio n d é p e n d e n t d e s v a le u r s d e s c o e ffic ie n ts Щ].
L a b if u r c a tio n la p lu s s im p le q u e l ’o n p u is s e im a g in e r c o r r e s p o n d à ü \q - 1, to u s
a u tr e s c o e ffic ie n ts é ta n t n u is : o n a d o n c i: = / /. Il y a é q u ilib r e s ta b le ( im m o b ilité d e
to u s le s é ta ts ) p o u r yu = 0 , a u c u n é q u ilib r e s in o n . L e tra c é d u p o r tr a it d e p h a s e s e n
f o n c tio n d e yu, q u ’o n a p p e lle diagramme de bifurcation, e s t le s u iv a n t :
T J
O
c
3
Q
t H
O
ГМ
(y)
gi
>Q .
O
U
/
0
Figure 9.2 - Bifurcation globale ^ = 0 pour x = ^.
U n e a u tr e b if u r c a tio n trè s s im p le e s t o b te n u e a v e c a\\ = 1, to u s a u tre s c o e ffic ie n ts
é ta n t n u is , d o n c x = f i x . L ’é q u ilib r e
s im p le m e n t s ta b le p o u r yu = 0, in s ta b le |
/
0 e s t a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le p o u r ji < 0,
ю и г yu > 0. O n a le d ia g r a m m e :
0
Figure 9.3- Bifurcation globale // = 0 pour x = ¡ix.
N o u s r e m a r q u o n s q u e , d é r o g e a n t à l ’in titu lé d u p a r a g r a p h e , c e s d e u x p r e m iè r e s
b if u r c a tio n s s>oni g lo b a les.
A v e c d e s e x e m p le s p lu s c o m p le x e s , la v a rié té d e s s c h é m a s d e b if u r c a tio n e s t i n
fin ie : o n p e u t p a r e x e m p le p a s s e r d e 0 é q u ilib r e à 2n é q u ilib r e s , a v e c le s y s tè m e
X = {x^ — ¡i)(x^ — 2fi) •••{x^ — nil), q u i p r é s e n te la b if u r c a tio n lo c a le yu = 0, e t d o n t
v o ic i le d ia g r a m m e p o u r n = 3 :
134
L ’a n a ly s e d e s b if u r c a tio n s p e u t u tile m e n t ê tr e m e n é e à p a r tir d u d é v e lo p p e m e n t d e
T a y lo r d e f{ x , ju) r e la tiv e m e n t a u x d e u x v a ria b le s x q î /j :
f ( x , ¡ j ) = ¿700 + ^ 1 0 + ^0 1 ^ + ^ 2 0 /7^ + ¿7i 1 /7 X + ¿7o2 X ^ + ' - -
A u p rix d ’u n s im p le d é c a la g e e n jc e t e n /7, o n r e c h e r c h e u n e b ifu r c a tio n e n (0 , 0 ).
O n a a lo r s «oo = 0 , e t la c o n d itio n V / = 0 im p o s e d e p lu s ao\ = 0 . L e s d iv e rs s c h é m a s
d e b if u r c a tio n d é p e n d e n t d e s v a le u r s d e s c o e ffic ie n ts Щ].
L a b if u r c a tio n la p lu s s im p le q u e l ’o n p u is s e im a g in e r c o r r e s p o n d à ü \q - 1, to u s
a u tr e s c o e ffic ie n ts é ta n t n u is : o n a d o n c i: = / /. Il y a é q u ilib r e s ta b le ( im m o b ilité d e
to u s le s é ta ts ) p o u r yu = 0 , a u c u n é q u ilib r e s in o n . L e tra c é d u p o r tr a it d e p h a s e s e n
f o n c tio n d e yu, q u ’o n a p p e lle diagramme de bifurcation, e s t le s u iv a n t :
T J
O
c
3
Q
t H
O
ГМ
(y)
gi
>Q .
O
U
/
0
Figure 9.2 - Bifurcation globale ^ = 0 pour x = ^.
U n e a u tr e b if u r c a tio n trè s s im p le e s t o b te n u e a v e c a\\ = 1, to u s a u tre s c o e ffic ie n ts
é ta n t n u is , d o n c x = f i x . L ’é q u ilib r e
s im p le m e n t s ta b le p o u r yu = 0, in s ta b le |
/
0 e s t a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le p o u r ji < 0,
ю и г yu > 0. O n a le d ia g r a m m e :
0
Figure 9.3- Bifurcation globale // = 0 pour x = ¡ix.
N o u s r e m a r q u o n s q u e , d é r o g e a n t à l ’in titu lé d u p a r a g r a p h e , c e s d e u x p r e m iè r e s
b if u r c a tio n s s>oni g lo b a les.
A v e c d e s e x e m p le s p lu s c o m p le x e s , la v a rié té d e s s c h é m a s d e b if u r c a tio n e s t i n
fin ie : o n p e u t p a r e x e m p le p a s s e r d e 0 é q u ilib r e à 2n é q u ilib r e s , a v e c le s y s tè m e
X = {x^ — ¡i)(x^ — 2fi) •••{x^ — nil), q u i p r é s e n te la b if u r c a tio n lo c a le yu = 0, e t d o n t
v o ic i le d ia g r a m m e p o u r n = 3 :
134