9.3. Bifurcations locales en dimension 1
s y s t.
s y s t. s^
e n {oq, Pi))
e n { a , p )
T
conjugués
( H a r tm a n ,
§ 6 .5 .2 )
i
lin é a r is é S
e n ( « 0, /^o)
- conjugues
( r é s u lta t § 4 .3 .2 )
î
conjugués
( H a r tm a n ,
§ 6 .5 .2 )
i
lin é a r is é S
e n ( a , jj)
P a r tr a n s itiv ité d e la c o n ju g a is o n , S e t 5 ^ s o n t c o n ju g u é s , c e q u i d é m o n tr e le r é s u lta t
c h e r c h é :
Théorème de stabilité structurelle locale
Soit üQ un équilibre hyperbolique du système x = f { x , p ) - 0, système pour lequel
la fonction (jr, p ) i-> f { x , p ) est de classe CK Alors, il existe :
• un voisinage w de po ;
• une fon ction P i-> a{p) de classe
de w dans R " telle que a(pçi) = uq et
f i a ip ) , p ) = 0.
tels que p ou r tout p appartenant au voisinage w, tous les systèmes non-linéaires
f i . , p ) sont conjugués entre eux au voisinage, pou r chacun, de son équilibre a(p).
T3
O
c
D
Û
t H
O
CM
(y)
4-1
X I
ai
>Q.
O
U
û
©
E n la n g a g e u s u e l : a u v o is in a g e d ’u n é q u ilib r e h y p e r b o liq u e , le c o m p o r te m e n t
q u a li ta t if d ’u n s y s tè m e n ’e s t p a s a ffe c té p a r u n e p e tite m o d if ic a tio n d e c e d e rn ie r.
L a s ta b ilité s tr u c tu r e lle lo c a le e x c lu t to u te b if u r c a tio n lo c a le . P a r c o n s é q u e n t, il ne
p e u t y avoir bifurcation loca le qu^au voisinage d^un équilibre non-hyperbolique.
C e r é s u lta t e x p liq u e - e t p e r m e t d e g é n é r a lis e r - le c o n s ta t q u e n o u s a v o n s f a it au
§ 9 .2 .1 s u r la b if u r c a tio n d u p e n d u le .
9.3 Bifu r c a t io n s l o c a l e s en dim ension 1
N o u s n o u s p la ç o n s d a n s le c a s o ù x £ M e t p € M. U n é q u ilib r e n o n - h y p e r b o liq u e e s t
p a r d é fin itio n c a r a c té r is é p a r le f a it q u ’u n e a u m o in s d e s v a le u r s p r o p re s d u s y s tè m e
lin é a r is é V /^ e s t s u r l ’a x e im a g in a ir e . E n d im e n s io n 1, c e tte v a le u r p r o p re n e p e u t
^ f
ê tr e q u e n u lle , c e q u i s ig n ifie p lu s r a d ic a le m e n t q u e V /^ = -— (a) = 0.
o x
133
s y s t.
s y s t. s^
e n {oq, Pi))
e n { a , p )
T
conjugués
( H a r tm a n ,
§ 6 .5 .2 )
i
lin é a r is é S
e n ( « 0, /^o)
- conjugues
( r é s u lta t § 4 .3 .2 )
î
conjugués
( H a r tm a n ,
§ 6 .5 .2 )
i
lin é a r is é S
e n ( a , jj)
P a r tr a n s itiv ité d e la c o n ju g a is o n , S e t 5 ^ s o n t c o n ju g u é s , c e q u i d é m o n tr e le r é s u lta t
c h e r c h é :
Théorème de stabilité structurelle locale
Soit üQ un équilibre hyperbolique du système x = f { x , p ) - 0, système pour lequel
la fonction (jr, p ) i-> f { x , p ) est de classe CK Alors, il existe :
• un voisinage w de po ;
• une fon ction P i-> a{p) de classe
de w dans R " telle que a(pçi) = uq et
f i a ip ) , p ) = 0.
tels que p ou r tout p appartenant au voisinage w, tous les systèmes non-linéaires
f i . , p ) sont conjugués entre eux au voisinage, pou r chacun, de son équilibre a(p).
T3
O
c
D
Û
t H
O
CM
(y)
4-1
X I
ai
>Q.
O
U
û
©
E n la n g a g e u s u e l : a u v o is in a g e d ’u n é q u ilib r e h y p e r b o liq u e , le c o m p o r te m e n t
q u a li ta t if d ’u n s y s tè m e n ’e s t p a s a ffe c té p a r u n e p e tite m o d if ic a tio n d e c e d e rn ie r.
L a s ta b ilité s tr u c tu r e lle lo c a le e x c lu t to u te b if u r c a tio n lo c a le . P a r c o n s é q u e n t, il ne
p e u t y avoir bifurcation loca le qu^au voisinage d^un équilibre non-hyperbolique.
C e r é s u lta t e x p liq u e - e t p e r m e t d e g é n é r a lis e r - le c o n s ta t q u e n o u s a v o n s f a it au
§ 9 .2 .1 s u r la b if u r c a tio n d u p e n d u le .
9.3 Bifu r c a t io n s l o c a l e s en dim ension 1
N o u s n o u s p la ç o n s d a n s le c a s o ù x £ M e t p € M. U n é q u ilib r e n o n - h y p e r b o liq u e e s t
p a r d é fin itio n c a r a c té r is é p a r le f a it q u ’u n e a u m o in s d e s v a le u r s p r o p re s d u s y s tè m e
lin é a r is é V /^ e s t s u r l ’a x e im a g in a ir e . E n d im e n s io n 1, c e tte v a le u r p r o p re n e p e u t
^ f
ê tr e q u e n u lle , c e q u i s ig n ifie p lu s r a d ic a le m e n t q u e V /^ = -— (a) = 0.
o x
133