Chapitre 9 • Bifurcations locales
L e p o r tr a it d e p h a s e s c h a n g e a u v o is in a g e d e l ’é q u ilib r e s ta b le : le s tr a je c to ir e s
p é r io d iq u e s ( a m o r tis s e m e n t n u l) d e v ie n n e n t d e s s p ir a le s c e n tr ip è te s ( a m o r tis s e m e n t
p o s itif) . Il y a d o n c b if u r c a tio n lo c a le , m a is s e u le m e n t a u v o is in a g e d e l ’é q u ilib r e
s ta b le . L ’é q u ilib r e h a u t r e s te in s ta b le : il y a s ta b ilité s tr u c tu r e lle a u v o is in a g e d e c e t
é q u ilib r e .
T J
O
c
rj
û
«JD
t H
O
CM
(y)
X I
OJ
>Q.
O
U
9.2.2 Stabilité structurelle des équilibres hyperboliques
N o u s v e n o n s d e v o ir q u e le s y s tè m e « p e n d u le » p r é s e n te u n e b if u r c a tio n lo rs q u e
l ’a m o r tis s e m e n t e s t n u l. L a b if u r c a tio n c o n c e r n e l ’é q u ilib r e b a s . L e s y s tè m e lin é a
r is é y a d m e t d e u x v a le u r s p r o p re s im a g in a ir e s p u r e s c o n ju g u é e s , e t n ’e s t d o n c p a s
h y p e r b o liq u e . E n r e v a n c h e , l ’é q u ilib r e h a u t, q u i e s t h y p e r b o liq u e , n ’e s t p a s lo c a le
m e n t a ffe c té p a r la b if u r c a tio n . C e tte c o n s ta ta tio n ( b if u r c a tio n e n u n é q u ilib r e n o n -
h y p e r b o liq u e ) illu s tr e u n r é s u lta t p lu s g é n é ra l q u e n o u s a llo n s d o n n e r, e t q u ’o n p e u t
b a p tis e r stabilité structurelle des équilibres hyperboliques.
N o u s a v o n s é ta b li a u c h a p itr e 4 la s ta b ilité s tr u c tu r e lle d e s s y s tè m e s linéaires h y
p e r b o liq u e s : si A() e s t u n e n d o m o r p h is m e h y p e r b o liq u e , il e x is te £: > 0 te l q u e , si
||Ao - A || < s , a lo r s A e s t h y p e r b o liq u e d e m ê m e in d ic e q u e A q.
N o u s a llo n s é te n d r e c e r é s u lta t lo c a le m e n t a u x s y s tè m e s n o n - lin é a ir e s g r â c e a u
th é o r è m e d e H a r tm a n - G r o b m a n .
S o it Sfj le s y s tè m e x = f ( x , p ), la f o n c tio n (x, p ) ^ f ( x , p) é ta n t d e c la s s e
S o it üQ u n é q u ilib r e hyperbolique d e 5^^^. L e c a ra c tè r e h y p e r b o liq u e im p liq u e q u ’e n
(üQ, po), V / e s t in v e rs ib le .
Il e x is te d o n c ( th é o r è m e d e s f o n c tio n s im p lic ite s ) d a n s u n in te r v a lle o u v e r t w
c o n te n a n t po u n e f o n c tio n d e c la s s e
:
, _
I
^
P ^ a{p) te lle q u e <
y a{po) = flo
E n d ’a u tr e s te r m e s , u n e v a ria tio n d e p a u to u r d e p{) e n tr a în e u n d é p la c e m e n t r é
g u lie r (a u s e n s d e d é riv a b le p a r r a p p o r t à p) d e l ’é q u ilib r e . D ’a p rè s le th é o r è m e d e
p e r s is ta n c e d u c a ra c tè r e h y p e r b o liq u e (§ 4 .3 .1 ) , o n p e u t c h o is ir w e t u n v o is in a g e Va^
d e ûQ te ls q u e V / g a rd e le m ê m e in d ic e p o u r (x , p ) G
x w. L e s s y s tè m e s lin é a r is é s
S L/jq e t 5
a y a n t d o n c le m ê m e in d ic e , o n p e u t é ta b lir le s c h é m a :
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L e p o r tr a it d e p h a s e s c h a n g e a u v o is in a g e d e l ’é q u ilib r e s ta b le : le s tr a je c to ir e s
p é r io d iq u e s ( a m o r tis s e m e n t n u l) d e v ie n n e n t d e s s p ir a le s c e n tr ip è te s ( a m o r tis s e m e n t
p o s itif) . Il y a d o n c b if u r c a tio n lo c a le , m a is s e u le m e n t a u v o is in a g e d e l ’é q u ilib r e
s ta b le . L ’é q u ilib r e h a u t r e s te in s ta b le : il y a s ta b ilité s tr u c tu r e lle a u v o is in a g e d e c e t
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9.2.2 Stabilité structurelle des équilibres hyperboliques
N o u s v e n o n s d e v o ir q u e le s y s tè m e « p e n d u le » p r é s e n te u n e b if u r c a tio n lo rs q u e
l ’a m o r tis s e m e n t e s t n u l. L a b if u r c a tio n c o n c e r n e l ’é q u ilib r e b a s . L e s y s tè m e lin é a
r is é y a d m e t d e u x v a le u r s p r o p re s im a g in a ir e s p u r e s c o n ju g u é e s , e t n ’e s t d o n c p a s
h y p e r b o liq u e . E n r e v a n c h e , l ’é q u ilib r e h a u t, q u i e s t h y p e r b o liq u e , n ’e s t p a s lo c a le
m e n t a ffe c té p a r la b if u r c a tio n . C e tte c o n s ta ta tio n ( b if u r c a tio n e n u n é q u ilib r e n o n -
h y p e r b o liq u e ) illu s tr e u n r é s u lta t p lu s g é n é ra l q u e n o u s a llo n s d o n n e r, e t q u ’o n p e u t
b a p tis e r stabilité structurelle des équilibres hyperboliques.
N o u s a v o n s é ta b li a u c h a p itr e 4 la s ta b ilité s tr u c tu r e lle d e s s y s tè m e s linéaires h y
p e r b o liq u e s : si A() e s t u n e n d o m o r p h is m e h y p e r b o liq u e , il e x is te £: > 0 te l q u e , si
||Ao - A || < s , a lo r s A e s t h y p e r b o liq u e d e m ê m e in d ic e q u e A q.
N o u s a llo n s é te n d r e c e r é s u lta t lo c a le m e n t a u x s y s tè m e s n o n - lin é a ir e s g r â c e a u
th é o r è m e d e H a r tm a n - G r o b m a n .
S o it Sfj le s y s tè m e x = f ( x , p ), la f o n c tio n (x, p ) ^ f ( x , p) é ta n t d e c la s s e
S o it üQ u n é q u ilib r e hyperbolique d e 5^^^. L e c a ra c tè r e h y p e r b o liq u e im p liq u e q u ’e n
(üQ, po), V / e s t in v e rs ib le .
Il e x is te d o n c ( th é o r è m e d e s f o n c tio n s im p lic ite s ) d a n s u n in te r v a lle o u v e r t w
c o n te n a n t po u n e f o n c tio n d e c la s s e
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P ^ a{p) te lle q u e <
y a{po) = flo
E n d ’a u tr e s te r m e s , u n e v a ria tio n d e p a u to u r d e p{) e n tr a în e u n d é p la c e m e n t r é
g u lie r (a u s e n s d e d é riv a b le p a r r a p p o r t à p) d e l ’é q u ilib r e . D ’a p rè s le th é o r è m e d e
p e r s is ta n c e d u c a ra c tè r e h y p e r b o liq u e (§ 4 .3 .1 ) , o n p e u t c h o is ir w e t u n v o is in a g e Va^
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a y a n t d o n c le m ê m e in d ic e , o n p e u t é ta b lir le s c h é m a :
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