9.2. Stabilité structurelle des équilibres
Définition
S o it
A^o) e Í2 X R a v e c / ( « o , ¡iq ) = 0.
O n d it q u ’il y a stabilité structurelle locale e n {üq, ¡iq) s ’il e x is te u n v o is in a g e
VaQ d e üQ, u n v o is in a g e w d e /jq e t u n e a p p lic a tio n c o n tin u e :
¡J e w
a(ju) G Í 2 te lle q u e p o u r to u t ¡u e w :
• f{a (jj), ¡J.) = 0, a v e c a (jio ) = üq ;
• il e x is te u n v o is in a g e
d e a (¡i) te l q u e le s s y s tè m e s d y n a m iq u e s
/( •, A^o)) e t (V^, / ( . , fj)) s o ie n t to p o lo g iq u e m e n t c o n ju g u é s , qq e t aiji)
é ta n t h o m o lo g u e s d a n s la c o n ju g a is o n .
X = /(X . /7 q )
Conjugaison
X = /(x,
T J
O
c
rj
û
t H
O
rsi
gj
>C L
O
U
S ’il n ’y a p a s s ta b ilité s tr u c tu r e lle e n (ao> A^o). on d it q u e juq e s t u n e v a le u r d e
bifurcation locale d e l ’é q u ilib r e ao.
Exemple
Le pendule pesant (§ 8.6) fait intervenir l’amortissement y comme paramètre. En
choisissant 0 e R/2n :
• Si l’amortissement est nul (cas conservatif), il y a :
- un équilibre instable, l’équilibre haut;
- un équilibre stable, mais pas asymptotiquement stable : l’équilibre bas.
• Si l’amortissement est positif (cas dissipatif), il y a :
- comme dans le cas conservatif : un équilibre instable, l’équilibre haut ;
- un équilibre stable, qui de plus est asymptotiquement stable : l’équilibre bas.
• Si enfin on considère un amortissement négatif, correspondant à un apport extérieur d’énergie, il y a :
- deux équilibres instables, les deux équilibres haut et bas : l’instabilité de
l’équilibre haut va de soi. Celle de l’équilibre bas eo résulte de ce que le
0
û
©
linéarisé x =
-y
X autour de eo (voir le thème d’étude, corrigé de la question 12) a pour valeurs propres deux complexes conjugués de partie réelle
- r /2 > 0.
131
Définition
S o it
A^o) e Í2 X R a v e c / ( « o , ¡iq ) = 0.
O n d it q u ’il y a stabilité structurelle locale e n {üq, ¡iq) s ’il e x is te u n v o is in a g e
VaQ d e üQ, u n v o is in a g e w d e /jq e t u n e a p p lic a tio n c o n tin u e :
¡J e w
a(ju) G Í 2 te lle q u e p o u r to u t ¡u e w :
• f{a (jj), ¡J.) = 0, a v e c a (jio ) = üq ;
• il e x is te u n v o is in a g e
d e a (¡i) te l q u e le s s y s tè m e s d y n a m iq u e s
/( •, A^o)) e t (V^, / ( . , fj)) s o ie n t to p o lo g iq u e m e n t c o n ju g u é s , qq e t aiji)
é ta n t h o m o lo g u e s d a n s la c o n ju g a is o n .
X = /(X . /7 q )
Conjugaison
X = /(x,
T J
O
c
rj
û
t H
O
rsi
gj
>C L
O
U
S ’il n ’y a p a s s ta b ilité s tr u c tu r e lle e n (ao> A^o). on d it q u e juq e s t u n e v a le u r d e
bifurcation locale d e l ’é q u ilib r e ao.
Exemple
Le pendule pesant (§ 8.6) fait intervenir l’amortissement y comme paramètre. En
choisissant 0 e R/2n :
• Si l’amortissement est nul (cas conservatif), il y a :
- un équilibre instable, l’équilibre haut;
- un équilibre stable, mais pas asymptotiquement stable : l’équilibre bas.
• Si l’amortissement est positif (cas dissipatif), il y a :
- comme dans le cas conservatif : un équilibre instable, l’équilibre haut ;
- un équilibre stable, qui de plus est asymptotiquement stable : l’équilibre bas.
• Si enfin on considère un amortissement négatif, correspondant à un apport extérieur d’énergie, il y a :
- deux équilibres instables, les deux équilibres haut et bas : l’instabilité de
l’équilibre haut va de soi. Celle de l’équilibre bas eo résulte de ce que le
0
û
©
linéarisé x =
-y
X autour de eo (voir le thème d’étude, corrigé de la question 12) a pour valeurs propres deux complexes conjugués de partie réelle
- r /2 > 0.
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