Chapitre 9 • Bifurcations locales
se v a le n t » ; d e u x p o in ts x\ e t X2 r é g u lie r s s o n t e n e ffe t h o m o lo g u e s d a n s u n e c o n ju
g a is o n , c e q u i im p liq u e q u e le s p o r tr a its d e p h a s e s d a n s le u r v o is in a g e s o n t to p o lo g iq u e m e n t in d is c e r n a b le s .
L a f o n c tio n (x, ju) e Q. X R
f { x , ¡j) e s t s u p p o s é e c o n tin u e , c o m m e l ’é ta it e n
l ’a b s e n c e d e p a r a m è tr e v a ria b le la f o n c tio n x i-> f{ x ) . D o n c , si f { x , juo)
0 , u n e
p e tite v a ria tio n d e yu a u to u r d e yUo p o u r r a c o n te n ir / ( j c , yu) a u to u r d e / ( x , yuo)
0.
E n d ’a u tr e s te r m e s , la p r o p r ié té « x e s t r é g u lie r » e s t s a u v e g a r d é e lo rs d ’u n e p e tite
v a ria tio n d u p a r a m è tr e . C o m m e to u s le s p o in ts r é g u lie r s s e v a le n t (a u s e n s q u e n o u s
v e n o n s d e r a p p e le r ) , la r e c h e r c h e d ’u n e b if u r c a tio n lo c a le n^est pertin en te qu^au
voisinage d^un équilibre.
Un exemple préliminaire
Au § 5.5, nous avons étudié l’évolution d’un portrait de phases bidimensionnel
en fonction d’un paramètre ¡j. Nous avons observé :
- pour ^ < -1 : un équilibre unique instable ;
- pour y L / = -1 : une infinité d’équilibres simplement stables ;
- pour ^ > -1 : un équilibre unique asymptotiquement stable.
À la traversée de la valeur /y = -1, il y a eu changement qualitatif : aucun des trois
systèmes ne peut être conjugué à l’un des deux autres. Il y a eu bifurcation.
9.2 St a b il it é s t r u c t u r e l l e des é q u ilib r es
T J
O
c
rj
û
«JD
t H
O
CM
ai
>C L
O
U
9.2.1 Définition de la bifurcation locale d’un équilibre
D a n s c e p a ra g r a p h e , o n v a d o n n e r u n c a d r e p lu s g é n é ra l e t p lu s r ig o u r e u x a u x o b s e r
v a tio n s f a ite s a u p a r a g r a p h e p r é c é d e n t.
S o it d o n c u n s y s tè m e d ’o r d r e n, e t d é p e n d a n t d ’u n p a r a m è tr e ré e l p . Il e s t d é fin i
p a r le c h a m p d e v e c te u rs :
X G n ( d o m a in e d e R " )
f ( x , p) e R'^
D é s o r m a is , n o u s s u p p o s e r o n s la f o n c tio n (x , p ) e i 2 x R i-> / ( x , p ) e R'^ d e c la s s e
.
P o u r la v a le u r po d u p a r a m è tr e p , s o it üq u n é q u ilib r e . O n a d o n c (ao, po) G O x R e t
f( a o , Po) = 0 .
N o u s a llo n s d o n n e r u n e d é fin itio n « e n n é g a ti f » d e s b if u r c a tio n s e n in tr o d u is a n t la
n o tio n d e s ta b ilité s tr u c tu r e lle lo c a le , c ’e s t- à - d ir e d e s ta b ilité s tr u c tu r e lle a u v o is in a g e
d ’u n é q u ilib r e , lo r s q u e le p a r a m è tr e v a rie a u to u r d ’u n e c e r ta in e v a le u r po.
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se v a le n t » ; d e u x p o in ts x\ e t X2 r é g u lie r s s o n t e n e ffe t h o m o lo g u e s d a n s u n e c o n ju
g a is o n , c e q u i im p liq u e q u e le s p o r tr a its d e p h a s e s d a n s le u r v o is in a g e s o n t to p o lo g iq u e m e n t in d is c e r n a b le s .
L a f o n c tio n (x, ju) e Q. X R
f { x , ¡j) e s t s u p p o s é e c o n tin u e , c o m m e l ’é ta it e n
l ’a b s e n c e d e p a r a m è tr e v a ria b le la f o n c tio n x i-> f{ x ) . D o n c , si f { x , juo)
0 , u n e
p e tite v a ria tio n d e yu a u to u r d e yUo p o u r r a c o n te n ir / ( j c , yu) a u to u r d e / ( x , yuo)
0.
E n d ’a u tr e s te r m e s , la p r o p r ié té « x e s t r é g u lie r » e s t s a u v e g a r d é e lo rs d ’u n e p e tite
v a ria tio n d u p a r a m è tr e . C o m m e to u s le s p o in ts r é g u lie r s s e v a le n t (a u s e n s q u e n o u s
v e n o n s d e r a p p e le r ) , la r e c h e r c h e d ’u n e b if u r c a tio n lo c a le n^est pertin en te qu^au
voisinage d^un équilibre.
Un exemple préliminaire
Au § 5.5, nous avons étudié l’évolution d’un portrait de phases bidimensionnel
en fonction d’un paramètre ¡j. Nous avons observé :
- pour ^ < -1 : un équilibre unique instable ;
- pour y L / = -1 : une infinité d’équilibres simplement stables ;
- pour ^ > -1 : un équilibre unique asymptotiquement stable.
À la traversée de la valeur /y = -1, il y a eu changement qualitatif : aucun des trois
systèmes ne peut être conjugué à l’un des deux autres. Il y a eu bifurcation.
9.2 St a b il it é s t r u c t u r e l l e des é q u ilib r es
T J
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c
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>C L
O
U
9.2.1 Définition de la bifurcation locale d’un équilibre
D a n s c e p a ra g r a p h e , o n v a d o n n e r u n c a d r e p lu s g é n é ra l e t p lu s r ig o u r e u x a u x o b s e r
v a tio n s f a ite s a u p a r a g r a p h e p r é c é d e n t.
S o it d o n c u n s y s tè m e d ’o r d r e n, e t d é p e n d a n t d ’u n p a r a m è tr e ré e l p . Il e s t d é fin i
p a r le c h a m p d e v e c te u rs :
X G n ( d o m a in e d e R " )
f ( x , p) e R'^
D é s o r m a is , n o u s s u p p o s e r o n s la f o n c tio n (x , p ) e i 2 x R i-> / ( x , p ) e R'^ d e c la s s e
.
P o u r la v a le u r po d u p a r a m è tr e p , s o it üq u n é q u ilib r e . O n a d o n c (ao, po) G O x R e t
f( a o , Po) = 0 .
N o u s a llo n s d o n n e r u n e d é fin itio n « e n n é g a ti f » d e s b if u r c a tio n s e n in tr o d u is a n t la
n o tio n d e s ta b ilité s tr u c tu r e lle lo c a le , c ’e s t- à - d ir e d e s ta b ilité s tr u c tu r e lle a u v o is in a g e
d ’u n é q u ilib r e , lo r s q u e le p a r a m è tr e v a rie a u to u r d ’u n e c e r ta in e v a le u r po.
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