Bif u r c a t io n s
LOCALES
9
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«JD
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CM
(y)
X I
O J
>Q.
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9.1 In t r o d u c t io n
L o r s q u ’u n s y s tè m e d é p e n d d ’u n p a r a m è tr e ju ( s c a la ire o u v e c to r ie l) , s o n c o m p o r te
m e n t c h a n g e - t- il q u a lita tiv e m e n t q u a n d le p a r a m è tr e v a rie ? S i o u i, u n te l c h a n g e m e n t
e s t a p p e lé bifurcation ; p a r a b u s d e la n g a g e c o u ra n t, o n d o n n e r a le m ê m e n o m à la
v a le u r d u p a r a m è tr e a u to u r d e la q u e lle le c h a n g e m e n t s e p ro d u it.
L e s b if u r c a tio n s s o n t p r é s e n te s d a n s to u t ty p e d e s y s tè m e :
• p h y s ic o - c h im iq u e : c h a n g e m e n t d ’é ta t lo r s q u e le p a r a m è tr e ( te m p é r a tu r e ) a tte in t
u n e c e r ta in e v a le u r ;
• é c o n o m iq u e : e f f o n d r e m e n t d ’u n c o u rs d e b o u r s e lo r s q u e l ’u n d e s p a r a m è tr e s d e la
v ie é c o n o m iq u e f r a n c h it u n s e u il d o n n é ;
• m é c a n iq u e : a p p a r itio n d ’u n é q u ilib r e a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le lo r s q u ’u n a m o r tis
s e m e n t, a u s s i f a ib le s o it- il, a p p a r a ît ;
• s o c ia l : b a s c u le m e n t b r u ta l d ’u n g r o u p e d a n s la v io le n c e a p rè s d é g r a d a tio n c o n tin u e d e s e s c o n d itio n s d e v ie .
L a lis te b ie n s û r n ’e s t p a s c lo s e .
D e u x e x e m p le s é lé m e n ta ir e s n o u s m o n tr e n t q u e le s b if u r c a tio n s r e s s o r tis s e n t à
d e u x g r a n d e s c a té g o rie s .
(ju
1. L e s y s tè m e p la n
'JC'
p r é s e n te p o u r /u < 0 l ’é q u ilib r e a s y m p to ti2 . L e s y s tè m e p la n d é fin i e n c o o r d o n n é e s p o la ir e s p a r
p r é s e n te p o u r
Q
©
j i j
\1 yu/ \y,
q u e m e n t s ta b le 0, q u i d e v ie n t s im p le m e n t s ta b le p o u r yu = 0, p u is in s ta b le p o u r
jj. > 0. Il y a p o u r yu = 0 u n e bifurcation locale. H o r s 0 , to u t p o in t jci r e s te
ré g u lie r.
> = 0
è =
yu < 0 l ’é q u ilib r e u n iq u e 0. L e s tr a je c to ir e s s o n t d e s c e rc le s c o n c e n tr iq u e s p a r
c o u r u s à v ite s s e a n g u la ir e ¡u < 0 c o n s ta n te . P o u r yu = 0 , il y a im m o b ilité g é
n é r a le : to u t p o in t d e v ie n t u n é q u ilib r e . P o u r yu > 0 , o n r e tr o u v e le s tr a je c to ir e s
a n té r ie u r e s , m a is p a r c o u r u e s d a n s le s e n s p o s itif. Il y a d o n c e u au v o is in a g e d e
tout p o in t d u p la n u n c h a n g e m e n t q u a li ta t if d u p o r tr a it d e p h a s e s : il y a p o u r
yu = 0 u n e bifurcation globale.
D a n s c e d o c u m e n t, n o u s n ’a n a ly s e r o n s q u e le s b if u r c a tio n s locales. N o u s s a v o n s p a r
le th é o r è m e d u r e d r e s s e m e n t (§ 2 .3 .1 ) q u ’e n d e h o r s d e s é q u ilib r e s « to u s le s p o in ts
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m e n t c h a n g e - t- il q u a lita tiv e m e n t q u a n d le p a r a m è tr e v a rie ? S i o u i, u n te l c h a n g e m e n t
e s t a p p e lé bifurcation ; p a r a b u s d e la n g a g e c o u ra n t, o n d o n n e r a le m ê m e n o m à la
v a le u r d u p a r a m è tr e a u to u r d e la q u e lle le c h a n g e m e n t s e p ro d u it.
L e s b if u r c a tio n s s o n t p r é s e n te s d a n s to u t ty p e d e s y s tè m e :
• p h y s ic o - c h im iq u e : c h a n g e m e n t d ’é ta t lo r s q u e le p a r a m è tr e ( te m p é r a tu r e ) a tte in t
u n e c e r ta in e v a le u r ;
• é c o n o m iq u e : e f f o n d r e m e n t d ’u n c o u rs d e b o u r s e lo r s q u e l ’u n d e s p a r a m è tr e s d e la
v ie é c o n o m iq u e f r a n c h it u n s e u il d o n n é ;
• m é c a n iq u e : a p p a r itio n d ’u n é q u ilib r e a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le lo r s q u ’u n a m o r tis
s e m e n t, a u s s i f a ib le s o it- il, a p p a r a ît ;
• s o c ia l : b a s c u le m e n t b r u ta l d ’u n g r o u p e d a n s la v io le n c e a p rè s d é g r a d a tio n c o n tin u e d e s e s c o n d itio n s d e v ie .
L a lis te b ie n s û r n ’e s t p a s c lo s e .
D e u x e x e m p le s é lé m e n ta ir e s n o u s m o n tr e n t q u e le s b if u r c a tio n s r e s s o r tis s e n t à
d e u x g r a n d e s c a té g o rie s .
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p r é s e n te p o u r
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ré g u lie r.
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c o u r u s à v ite s s e a n g u la ir e ¡u < 0 c o n s ta n te . P o u r yu = 0 , il y a im m o b ilité g é
n é r a le : to u t p o in t d e v ie n t u n é q u ilib r e . P o u r yu > 0 , o n r e tr o u v e le s tr a je c to ir e s
a n té r ie u r e s , m a is p a r c o u r u e s d a n s le s e n s p o s itif. Il y a d o n c e u au v o is in a g e d e
tout p o in t d u p la n u n c h a n g e m e n t q u a li ta t if d u p o r tr a it d e p h a s e s : il y a p o u r
yu = 0 u n e bifurcation globale.
D a n s c e d o c u m e n t, n o u s n ’a n a ly s e r o n s q u e le s b if u r c a tio n s locales. N o u s s a v o n s p a r
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