Chapitre 8 • Flots hors de R.”
l ’e s p a c e d e s é ta ts p o s s è d e la to p o lo g ie d ’u n c e rc le . L ’é q u ilib r e e s t à la fo is
attractif, r é p u ls if et instable, c e q u e n o u s a v io n s d é jà é ta b li en q u e s tio n 3,
a v e c u n e m o d é lis a tio n d iff é re n te . O n r e c o n n a ît e n c o r e l ’é q u ilib r e o b je t d u p a
r a g r a p h e 8.2.2.
1 0 . O n a V / = i
^
M , c e q u i f o u r n it le s y s tè m e lin é a r is é e n e\ :
•a
O
c
13
û
t H
O
(N
CT
‘s_
>.
C L
O
U
x =
( Z ,) .
L e p o ly n ô m e c a ra c té r is tiq u e e s t P{A) =
+ y d - 1.
S e s r a c in e s ^ - 2
^ a/ t ^ ~ + 4 ) s o n t r é e lle s d e p r o d u it - 1 : le s y s tè m e a
p o u r in d ic e (1,0, 1) e t e s t d o n c h y p e r b o liq u e . L ’é q u ilib r e d e Z\ e s t instable
(d e n a tu r e c o l : le s tr a je c to ir e s s o n t d e s a rc s d ’h y p e r b o le s ) .
C o m m e e\ e s t h y p e r b o liq u e , l ’é q u ilib r e
d e 27 e s t lu i- m ê m e instable.
11. F = V F . / = r * ' " '*').(
.
I = - 2 j x ^ < 0 . D o n c , F e s t u n e
^
\ 2X2 I \ - s m x i - y x 2l
^ 2
f o n c tio n d e L ia p o u n o v , c e q u i e x p r im e le f a it q u e le s y s tè m e e s t d is s ip a tif.
Il e n r é s u lte q u e cq e s t u n équilibre stable d e 27.
D e c e tte p r e m iè r e a n a ly s e , o n n e p e u t p a s e n c o r e d é d u ir e q u e a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le , c a r F s ’a n n u le e n d ’a u tr e s p o in ts q u e eg.
1 2 . L e s y s tè m e lin é a r is é a u to u r d e é'o e s t x = | ^
x
(27q)
L e p o ly n ô m e c a r a c té r is tiq u e e s t P(A) = A^ + y A + 1. P o u r to u t y > 0 , se s
y
r a c in e s s o n t d e p a rtie r é e lle - - < 0. L e s y s tè m e a p o u r in d ic e (2 , 0 , 0 ). Il e s t
h y p e r b o liq u e , e t l ’é q u ilib r e d e 27o e s t d o n c asym ptotiquem ent stable.
Il e n e s t d e m ê m e (2^ th é o r è m e d e L ia p o u n o v ) p o u r l ’é q u ilib r e eg de 27.
l® *" cas : y < 2 ( a m o r tis s e m e n t m o d é r é ) : le s v a le u r s p r o p re s s o n t p ± iùj, a v e c
// = - -
= - ( 4 - y 2 )
L e s tr a je c to ir e s d e 27o s o n t d e s s p ir a le s c e n tr ip è te s (§ 5 .2 , c a s n° 12) : le p e n d u le
r e jo in t eg p a r oscillations am orties : eg e s t u n f o y e r s ta b le .
2® cas : y = 2 ( a m o r tis s e m e n t c r itiq u e ) : le p o ly n ô m e c a r a c té r is tiq u e
P ( /t) = A^ + 2A
\ a. u n e r a c in e d o u b le A =
m a is le s y s tè m e lin é a r is é
^
^ n ’e s t pas sem i-sim ple. S o n s o u s - e s p a c e p r o p r e e s t e n e ffe t r é d u it
X =
^ 1 - 2^
à la d r o ite g é n é r é e p a r le v e c te u r -1
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l ’e s p a c e d e s é ta ts p o s s è d e la to p o lo g ie d ’u n c e rc le . L ’é q u ilib r e e s t à la fo is
attractif, r é p u ls if et instable, c e q u e n o u s a v io n s d é jà é ta b li en q u e s tio n 3,
a v e c u n e m o d é lis a tio n d iff é re n te . O n r e c o n n a ît e n c o r e l ’é q u ilib r e o b je t d u p a
r a g r a p h e 8.2.2.
1 0 . O n a V / = i
^
M , c e q u i f o u r n it le s y s tè m e lin é a r is é e n e\ :
•a
O
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13
û
t H
O
(N
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>.
C L
O
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x =
( Z ,) .
L e p o ly n ô m e c a ra c té r is tiq u e e s t P{A) =
+ y d - 1.
S e s r a c in e s ^ - 2
^ a/ t ^ ~ + 4 ) s o n t r é e lle s d e p r o d u it - 1 : le s y s tè m e a
p o u r in d ic e (1,0, 1) e t e s t d o n c h y p e r b o liq u e . L ’é q u ilib r e d e Z\ e s t instable
(d e n a tu r e c o l : le s tr a je c to ir e s s o n t d e s a rc s d ’h y p e r b o le s ) .
C o m m e e\ e s t h y p e r b o liq u e , l ’é q u ilib r e
d e 27 e s t lu i- m ê m e instable.
11. F = V F . / = r * ' " '*').(
.
I = - 2 j x ^ < 0 . D o n c , F e s t u n e
^
\ 2X2 I \ - s m x i - y x 2l
^ 2
f o n c tio n d e L ia p o u n o v , c e q u i e x p r im e le f a it q u e le s y s tè m e e s t d is s ip a tif.
Il e n r é s u lte q u e cq e s t u n équilibre stable d e 27.
D e c e tte p r e m iè r e a n a ly s e , o n n e p e u t p a s e n c o r e d é d u ir e q u e a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le , c a r F s ’a n n u le e n d ’a u tr e s p o in ts q u e eg.
1 2 . L e s y s tè m e lin é a r is é a u to u r d e é'o e s t x = | ^
x
(27q)
L e p o ly n ô m e c a r a c té r is tiq u e e s t P(A) = A^ + y A + 1. P o u r to u t y > 0 , se s
y
r a c in e s s o n t d e p a rtie r é e lle - - < 0. L e s y s tè m e a p o u r in d ic e (2 , 0 , 0 ). Il e s t
h y p e r b o liq u e , e t l ’é q u ilib r e d e 27o e s t d o n c asym ptotiquem ent stable.
Il e n e s t d e m ê m e (2^ th é o r è m e d e L ia p o u n o v ) p o u r l ’é q u ilib r e eg de 27.
l® *" cas : y < 2 ( a m o r tis s e m e n t m o d é r é ) : le s v a le u r s p r o p re s s o n t p ± iùj, a v e c
// = - -
= - ( 4 - y 2 )
L e s tr a je c to ir e s d e 27o s o n t d e s s p ir a le s c e n tr ip è te s (§ 5 .2 , c a s n° 12) : le p e n d u le
r e jo in t eg p a r oscillations am orties : eg e s t u n f o y e r s ta b le .
2® cas : y = 2 ( a m o r tis s e m e n t c r itiq u e ) : le p o ly n ô m e c a r a c té r is tiq u e
P ( /t) = A^ + 2A
\ a. u n e r a c in e d o u b le A =
m a is le s y s tè m e lin é a r is é
^
^ n ’e s t pas sem i-sim ple. S o n s o u s - e s p a c e p r o p r e e s t e n e ffe t r é d u it
X =
^ 1 - 2^
à la d r o ite g é n é r é e p a r le v e c te u r -1
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