8.6. Thème d’étude : le pendule
5 . O n a H {p , q) =
\\p\\
X.
^ + V(q) = —— cosx\ + 1, e x p r e s s io n d a n s la q u e lle
o n r e c o n n a ît l ’é n e rg ie m é c a n iq u e d u s y s tè m e . O n e n d é d u it ( ré s u lta t é ta b li e n
e x e rc ic e 6.1 ) q u e eo e s t u n équilibre sim plem ent stable d e S .
6. P o r tr a it d e p h a s e s d u p e n d u le n o n a m o r ti :
> x , = e
T J
O
c
rj
û
«JD
t H
O
CM
(y)
X I
OJ
>Q .
O
U
Q
©
7 . En eo : l ’in d ic e d u s y s tè m e lin é a r is é e s t (0 , 2 , 0 ).
L a « le n tille » o u v e r te V c(0) = K-^i j ^2) ;
| < :7 r e t |jî2| < 2 c o s y } e s t in v a
r ia n te p a r le flo t e t ta n g e n te e n 0 à
= 1^^. E lle r é p o n d à la d é fin itio n d ’u n e
variété centrale Vc(^o)*
C o m m e Es =
= (p, le s v a rié té s s ta b le e t in s ta b le se r é d u is e n t à {é'o}.
En
: l ’in d ic e d u s y s tè m e lin é a r is é e s t (1 , 0 , 1). L ’e x a m e n d u p o r tr a it d e
p h a s e s m o n tr e q u e :
• Vs{e\) e s t l ’a rc d e s in u s o ïd e X2 = 2 c o s y , a v e c - n < x\ < Stt
• K / ( ^ i) e s t l ’a rc d e s in u s o ïd e X2 = - 2 c o s y , a v e c - n < x\ < 3tt.
8. L e s o r b ite s hétéroclin es s o n t c e lle s c o r r e s p o n d a n t à E = 4 : u n e o r b ite h é té r o -
c lin e e s t u n a rc d e s in u s o ïd e j o ig n a n t l ’é q u ilib r e in s ta b le {kn, 0) {k im p a ir ) à
l ’u n d e s d e u x é q u ilib r e s in s ta b le s (k n ± 2 n , 0 ). Il n ’y a p a s d ’o rb ite h o m o c lin e .
Remarque
Si on adopte R/2nZ comme espace d’appartenance de x\, les trois équilibres
(kn, 0) et {kn±2n, 0) deviennent un équilibre unique, et les orbites hétéroclines
précédemment identifiées deviennent hom oclines. Il n’y a alors plus d’orbite
hétérocline.
9. 5 o e s t b ie n u n s o u s - s y s tè m e , illu s tr é e n fig u re 8 .7 p a r l ’a rc d e s in u s o ïd e
x\
X2 = 2 COS y , o ù jii G [-71, 7[], Ics e x tr é m ité s d e c e s e g m e n t é ta n t id e n
tifié e s l ’u n e à l ’a u tre . Il c o m p o r te d e u x o r b ite s : u n e h o m é o m o r p h e à u n in
te r v a lle o u v e r t e t u n é q u ilib r e q u i r e f e r m e l ’in te r v a lle s u r lu i- m ê m e . A in s i,
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5 . O n a H {p , q) =
\\p\\
X.
^ + V(q) = —— cosx\ + 1, e x p r e s s io n d a n s la q u e lle
o n r e c o n n a ît l ’é n e rg ie m é c a n iq u e d u s y s tè m e . O n e n d é d u it ( ré s u lta t é ta b li e n
e x e rc ic e 6.1 ) q u e eo e s t u n équilibre sim plem ent stable d e S .
6. P o r tr a it d e p h a s e s d u p e n d u le n o n a m o r ti :
> x , = e
T J
O
c
rj
û
«JD
t H
O
CM
(y)
X I
OJ
>Q .
O
U
Q
©
7 . En eo : l ’in d ic e d u s y s tè m e lin é a r is é e s t (0 , 2 , 0 ).
L a « le n tille » o u v e r te V c(0) = K-^i j ^2) ;
| < :7 r e t |jî2| < 2 c o s y } e s t in v a
r ia n te p a r le flo t e t ta n g e n te e n 0 à
= 1^^. E lle r é p o n d à la d é fin itio n d ’u n e
variété centrale Vc(^o)*
C o m m e Es =
= (p, le s v a rié té s s ta b le e t in s ta b le se r é d u is e n t à {é'o}.
En
: l ’in d ic e d u s y s tè m e lin é a r is é e s t (1 , 0 , 1). L ’e x a m e n d u p o r tr a it d e
p h a s e s m o n tr e q u e :
• Vs{e\) e s t l ’a rc d e s in u s o ïd e X2 = 2 c o s y , a v e c - n < x\ < Stt
• K / ( ^ i) e s t l ’a rc d e s in u s o ïd e X2 = - 2 c o s y , a v e c - n < x\ < 3tt.
8. L e s o r b ite s hétéroclin es s o n t c e lle s c o r r e s p o n d a n t à E = 4 : u n e o r b ite h é té r o -
c lin e e s t u n a rc d e s in u s o ïd e j o ig n a n t l ’é q u ilib r e in s ta b le {kn, 0) {k im p a ir ) à
l ’u n d e s d e u x é q u ilib r e s in s ta b le s (k n ± 2 n , 0 ). Il n ’y a p a s d ’o rb ite h o m o c lin e .
Remarque
Si on adopte R/2nZ comme espace d’appartenance de x\, les trois équilibres
(kn, 0) et {kn±2n, 0) deviennent un équilibre unique, et les orbites hétéroclines
précédemment identifiées deviennent hom oclines. Il n’y a alors plus d’orbite
hétérocline.
9. 5 o e s t b ie n u n s o u s - s y s tè m e , illu s tr é e n fig u re 8 .7 p a r l ’a rc d e s in u s o ïd e
x\
X2 = 2 COS y , o ù jii G [-71, 7[], Ics e x tr é m ité s d e c e s e g m e n t é ta n t id e n
tifié e s l ’u n e à l ’a u tre . Il c o m p o r te d e u x o r b ite s : u n e h o m é o m o r p h e à u n in
te r v a lle o u v e r t e t u n é q u ilib r e q u i r e f e r m e l ’in te r v a lle s u r lu i- m ê m e . A in s i,
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