Chapitre 8 • Flots hors de R”
■a
O
c
rj
û
«JD
t H
O
CM
(y)
ai
>•
CL
O
U
Remarque
Toute \so-E est constituée d’une infinité d’orbites.
E = 4 : a lo rs , o n a s u r to u te o r b ite F (x ) = x ^ - 2 c o s x\ + 2 = 4 :
x^ = 2 ( c o s x i + 1) = 4 c o s^ ^
: X2 = ±2 c o s ^ : les o r b ite s s o n t
d e s a rc s d e s in u s o ïd e , c o r r e s p o n d a n t à Varrivée à vitesse n u lle « p a r
la d r o ite » ( s ig n e + ) o u « p a r la g a u c h e » ( s ig n e - ) à V équilibre haut.
C o m m e le s y s tè m e e s t d e c la s s e C ” , d o n c lo c a le m e n t lip s c h itz ie n , le
th é o r è m e d e C a u c h y in te r d it q u e c e tte a rr iv é e se f a s s e e n u n te m p s fin i.
S i o n m o d if ie la d é fin itio n d e l ’é ta t e n p r e n a n t 0 e R/2ttZ e t e n im p o s a n t
è > 0 , la d im e n s io n d u s y s tè m e se r é d u it à 1. Il n ’y a q u e d e u x tr a je c
to ir e s d o n t l ’é q u ilib r e h a u t, q u i e s t a lo rs à la f o is attractifs r é p u ls if et
instable : o n r e tr o u v e , m o y e n n a n t la c o n d itio n 6> > 0, r e x e m p le d é c r it au
p a r a g r a p h e 8.2.2.
E > 4 : s u r to u te o r b ite , o n a a lo rs :
.^2 = 2 ( c o s x\ - \) + E - - 4 sin ^ ^ + E.
C o m m e E > 4 , X2 n e s ’a n n u le j a m a is e t g a rd e u n s ig n e c o n s ta n t. C e c i
s ig n ifie q u e le p e n d u le n ’o s c ille p a s : s o n é n e rg ie c in é tiq u e e s t s u f
fis a n te p o u r q u ’il tourne co n tin u ellem en t d a n s le m ê m e s e n s , p o s itif
o u n é g a tif. C e s d e u x c a s c o r r e s p o n d e n t r e s p e c tiv e m e n t a u x é q u a tio n s
X2 = . / E - 4 sin
2 -^1
e t X2 = - y
- 4 sin ^ ^ d e s o r b ite s .
E n r é s u m é , o n a b ie n q u a tr e ty p e s d ’o r b ite s : é q u ilib r e s ta b le , é q u ilib r e in s ta b le ,
o r b ite p é rio d iq u e , o r b ite a p é rio d iq u e .
0
1
co sx\ 0^
( ^ o )
|, c e q u i f o u r n it le s d e u x s y s tè m e s lin é a ris é s :
'0 1
e t X =
^
( 5 i ) .
- 1 0 / "
\1 Oy
• P o u r 5 o , le s v a le u r s p r o p r e s s o n t ± i : le s y s tè m e a p o u r in d ic e (0 , 2 , 0 ) e t
n ’e s t d o n c p a s h y p e r b o liq u e . L ’é q u ilib r e d e S q e s t sim plem ent stable.
O n n e p e u t pas c o n c lu r e a u v u d e c e s e u l é lé m e n t q u a n t à la s ta b ilité d e l ’é q u ilib re é'o d e 5 .
• P o u r S \ , le s v a le u r s p r o p re s s o n t + 1 : le s y s tè m e a p o u r in d ic e (1 , 0 , 1) e t
e s t d o n c h y p e r b o liq u e . Es e s t e n g e n d r é p a r le v e c te u r ( 1, - 1) e t
p a r ( 1, 1).
L ’é q u ilib r e d e S \ e s t instable (d e n a tu r e c o l : le s tr a je c to ir e s s o n t d e s a rc s
d ’h y p e r b o le s ) . L ’é q u ilib r e e\ d e S e s t lu i- m ê m e instable.
124
■a
O
c
rj
û
«JD
t H
O
CM
(y)
ai
>•
CL
O
U
Remarque
Toute \so-E est constituée d’une infinité d’orbites.
E = 4 : a lo rs , o n a s u r to u te o r b ite F (x ) = x ^ - 2 c o s x\ + 2 = 4 :
x^ = 2 ( c o s x i + 1) = 4 c o s^ ^
: X2 = ±2 c o s ^ : les o r b ite s s o n t
d e s a rc s d e s in u s o ïd e , c o r r e s p o n d a n t à Varrivée à vitesse n u lle « p a r
la d r o ite » ( s ig n e + ) o u « p a r la g a u c h e » ( s ig n e - ) à V équilibre haut.
C o m m e le s y s tè m e e s t d e c la s s e C ” , d o n c lo c a le m e n t lip s c h itz ie n , le
th é o r è m e d e C a u c h y in te r d it q u e c e tte a rr iv é e se f a s s e e n u n te m p s fin i.
S i o n m o d if ie la d é fin itio n d e l ’é ta t e n p r e n a n t 0 e R/2ttZ e t e n im p o s a n t
è > 0 , la d im e n s io n d u s y s tè m e se r é d u it à 1. Il n ’y a q u e d e u x tr a je c
to ir e s d o n t l ’é q u ilib r e h a u t, q u i e s t a lo rs à la f o is attractifs r é p u ls if et
instable : o n r e tr o u v e , m o y e n n a n t la c o n d itio n 6> > 0, r e x e m p le d é c r it au
p a r a g r a p h e 8.2.2.
E > 4 : s u r to u te o r b ite , o n a a lo rs :
.^2 = 2 ( c o s x\ - \) + E - - 4 sin ^ ^ + E.
C o m m e E > 4 , X2 n e s ’a n n u le j a m a is e t g a rd e u n s ig n e c o n s ta n t. C e c i
s ig n ifie q u e le p e n d u le n ’o s c ille p a s : s o n é n e rg ie c in é tiq u e e s t s u f
fis a n te p o u r q u ’il tourne co n tin u ellem en t d a n s le m ê m e s e n s , p o s itif
o u n é g a tif. C e s d e u x c a s c o r r e s p o n d e n t r e s p e c tiv e m e n t a u x é q u a tio n s
X2 = . / E - 4 sin
2 -^1
e t X2 = - y
- 4 sin ^ ^ d e s o r b ite s .
E n r é s u m é , o n a b ie n q u a tr e ty p e s d ’o r b ite s : é q u ilib r e s ta b le , é q u ilib r e in s ta b le ,
o r b ite p é rio d iq u e , o r b ite a p é rio d iq u e .
0
1
co sx\ 0^
( ^ o )
|, c e q u i f o u r n it le s d e u x s y s tè m e s lin é a ris é s :
'0 1
e t X =
^
( 5 i ) .
- 1 0 / "
\1 Oy
• P o u r 5 o , le s v a le u r s p r o p r e s s o n t ± i : le s y s tè m e a p o u r in d ic e (0 , 2 , 0 ) e t
n ’e s t d o n c p a s h y p e r b o liq u e . L ’é q u ilib r e d e S q e s t sim plem ent stable.
O n n e p e u t pas c o n c lu r e a u v u d e c e s e u l é lé m e n t q u a n t à la s ta b ilité d e l ’é q u ilib re é'o d e 5 .
• P o u r S \ , le s v a le u r s p r o p re s s o n t + 1 : le s y s tè m e a p o u r in d ic e (1 , 0 , 1) e t
e s t d o n c h y p e r b o liq u e . Es e s t e n g e n d r é p a r le v e c te u r ( 1, - 1) e t
p a r ( 1, 1).
L ’é q u ilib r e d e S \ e s t instable (d e n a tu r e c o l : le s tr a je c to ir e s s o n t d e s a rc s
d ’h y p e r b o le s ) . L ’é q u ilib r e e\ d e S e s t lu i- m ê m e instable.
124