1 2 . L e but d e ce tte q u e stio n e st d ’a ffin e r le ré su lta t a c q u is en q u estio n p ré c é d e n te .
- lin é a r is e r I a u to u r d e l ’é q u ilib r e b a s eo = (0 , 0).
- d é te r m in e r e n f o n c tio n d e y (y > 0) la n a tu r e d e l ’é q u ilib r e d u s y s tè m e
lin é a r is é Z q.
- q u e p e u t- o n e n d é d u ir e q u a n t à l ’é q u ilib r e eo de Z I
1 3 . E s q u is s e r le p o r tr a it d e p h a s e s d e Z p o u r y < 2 , p u is p o u r y > 2.
1 4 . I d e n tif ie r le s v a rié té s r e m a r q u a b le s e n
e t e n
.
8.6. Thème d’étude : le pendule
T J
O
c
3
Û
K D
T -H
O
rM
xz
gj
>•
C L
O
U
8.6.2 Le pendule : corrigé
Q
©
1. P o s a n t
=
'X\
^0]
, l ’é q u a tio n in itia le d u s e c o n d o r d re e n 6 é q u iv a u t à
\X2/
yOj
l ’é q u a tio n d u p r e m ie r o r d re e n .r :
O n n o te q u e le s y s tè m e e s t d e c la s s e
2. v i = 0 < = » X2 = 0
X2 = 0 < = > s in x\ + y X2 = 0, s o it ( c o m m e X2 = 0 )
= kn a v e c k e Z
P a r c o n s é q u e n t, p o u r y > 0 , ( p e n d u le a m o r ti o u n o n ), le s é q u ilib r e s s o n t d o n n é s
p a r :
x\ = 0 = kn
X 2 = 0
, a v e c k G
k im p a ir : é q u ilib r e h a u t
k p a ir : é q u ilib r e b a s
3 .
(a ) O n a V F W =
d ’o ù F = V F . / =
X2
= 0.
sm X{ I
O n a d o n c F = 0 : F est constante su r toute trajectoire.
(b ) F é ta n t c o n s ta n te s u r to u te tr a je c to ir e , o n a F {x) = E {E é ta n t u n e
c o n s ta n te ) s u r to u te o r b ite . A tte n tio n ! à u n e v a le u r d e E p e u v e n t c o r
r e s p o n d r e p lu s ie u r s o r b ite s .
Z k ffi
. 0 i
: e s t u n équilibre stable ( é q u ilib r e b a s )
E = 0 : c e c i im p liq u e jc =
d u s y s tè m e .
0 < £■ < 4 : a lo rs , x\ = 2 cos x i - 2 + E = 2 ( c o s x¡ - 1) + E , c ’e s t- à - d ir e
x^ + 4 sin ^ ^ = E , ce q u i f o u r n it d e s orbites p ériod iqu es h o m o lo g u e s
^
2
p a r tr a n s la tio n s d e v e c te u rs
(a v e c k e Z).
X \
X {
P o u r E p r o c h e d e 0 ( p e tite s o s c illa tio n s ) , o n a s in — ^
o r b ite s
s e r o n t p r o c h e s d e s c e r c le s x^ ^ + x^ = E.
123
- lin é a r is e r I a u to u r d e l ’é q u ilib r e b a s eo = (0 , 0).
- d é te r m in e r e n f o n c tio n d e y (y > 0) la n a tu r e d e l ’é q u ilib r e d u s y s tè m e
lin é a r is é Z q.
- q u e p e u t- o n e n d é d u ir e q u a n t à l ’é q u ilib r e eo de Z I
1 3 . E s q u is s e r le p o r tr a it d e p h a s e s d e Z p o u r y < 2 , p u is p o u r y > 2.
1 4 . I d e n tif ie r le s v a rié té s r e m a r q u a b le s e n
e t e n
.
8.6. Thème d’étude : le pendule
T J
O
c
3
Û
K D
T -H
O
rM
xz
gj
>•
C L
O
U
8.6.2 Le pendule : corrigé
Q
©
1. P o s a n t
=
'X\
^0]
, l ’é q u a tio n in itia le d u s e c o n d o r d re e n 6 é q u iv a u t à
\X2/
yOj
l ’é q u a tio n d u p r e m ie r o r d re e n .r :
O n n o te q u e le s y s tè m e e s t d e c la s s e
2. v i = 0 < = » X2 = 0
X2 = 0 < = > s in x\ + y X2 = 0, s o it ( c o m m e X2 = 0 )
= kn a v e c k e Z
P a r c o n s é q u e n t, p o u r y > 0 , ( p e n d u le a m o r ti o u n o n ), le s é q u ilib r e s s o n t d o n n é s
p a r :
x\ = 0 = kn
X 2 = 0
, a v e c k G
k im p a ir : é q u ilib r e h a u t
k p a ir : é q u ilib r e b a s
3 .
(a ) O n a V F W =
d ’o ù F = V F . / =
X2
= 0.
sm X{ I
O n a d o n c F = 0 : F est constante su r toute trajectoire.
(b ) F é ta n t c o n s ta n te s u r to u te tr a je c to ir e , o n a F {x) = E {E é ta n t u n e
c o n s ta n te ) s u r to u te o r b ite . A tte n tio n ! à u n e v a le u r d e E p e u v e n t c o r
r e s p o n d r e p lu s ie u r s o r b ite s .
Z k ffi
. 0 i
: e s t u n équilibre stable ( é q u ilib r e b a s )
E = 0 : c e c i im p liq u e jc =
d u s y s tè m e .
0 < £■ < 4 : a lo rs , x\ = 2 cos x i - 2 + E = 2 ( c o s x¡ - 1) + E , c ’e s t- à - d ir e
x^ + 4 sin ^ ^ = E , ce q u i f o u r n it d e s orbites p ériod iqu es h o m o lo g u e s
^
2
p a r tr a n s la tio n s d e v e c te u rs
(a v e c k e Z).
X \
X {
P o u r E p r o c h e d e 0 ( p e tite s o s c illa tio n s ) , o n a s in — ^
o r b ite s
s e r o n t p r o c h e s d e s c e r c le s x^ ^ + x^ = E.
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