Chapitre 8 • Flots hors de R"
■a
O
c
=3
Q
T— H
O
rM
CT
‘s_
>.
Q.
O
U
1. O n c o n s id è r e le p e n d u le a m o rti o u n o n {y > 0 ). M e ttr e l ’é q u a tio n d u s y s tè m e
s o u s la f o r m e x = f( x ) , a v e c jc G
O n n o te r a v =
j = le v e c te u r d ’é ta t,
e t S le s y s tè m e .
2 . D é te r m in e r le s é q u ilib r e s d u s y s tè m e .
D a n s la su ite, on p o s e r a F {x ) = xl^ — 2 c o s x \ + 2 . D a n s le systèm e a d im e n sio n
n e l c h o isi, F (x ) re p ré se n te le d o u b le d e V é n e rg ie to ta le (som m e d e l ’é n e rg ie
c in é tiq u e et d e l ’é n e rg ie p o te n tie lle ), p o s é e n u lle à l ’é q u ilib re b a s.
3 . O n s e p la c e ( q u e s tio n s 3 à 9 ) d a n s le c a s d u p en d u le non am orti ( y = 0 ).
(a ) V é r if ie r q u e V v G
F (x ) = 0.
(b ) D é d u ir e d e l ’é q u a tio n v é rifié e p a r to u te o r b ite q u ’il e x is te q u a tr e ty p e s
d ’o r b ite s ( é q u ilib r e s in c lu s ).
4 . L in é a r is e r S a u to u r d e s é q u ilib r e s b a s eo = (0 , 0 ) e t h a u t ei = (jt, 0 ).
O n d is c u te r a la n a tu r e d e s é q u ilib r e s d e s s y s tè m e s lin é a r is é s r e s p e c tif s ^Sq e t
5 1, e t d e s é v e n tu e lle s im p lic a tio n s s u r le s é q u ilib r e s eo t i e \ d e 5 .
5 . V é r if ie r q u e p o u r (q, p) = ( v i , X2) e t V(q) = - c o s <7 + 1, l ’h a m ilto n ie n
F lip , q) =
P
+ V(q) e s t l ’é n e rg ie to ta le F(x)!2.
M o n tr e r q u e V e s t s tr ic te m e n t m in im u m ( lo c a le m e n t) p o u r ^ = 0.
Q u ’e n d é d u it- o n q u a n t à l ’é q u ilib r e ^0 d e 5 ? ( v o ir l ’e x e rc ic e 6 .1 )
6. T r a c e r u n p o r tr a it d e p h a s e s d u s y s tè m e S .
7 . I d e n tif ie r le s v a rié té s r e m a r q u a b le s e n eo e t e n
.
8. I d e n tif ie r le s é v e n tu e lle s o r b ite s h o m o c lin e s e t h é té r o c lin e s .
9. O n c h o is it, p o u r c e tte q u e s tio n s e u le m e n t : x\ = 9 e R / 2 tt (o n n e « c o m p te
p a s » le s to u rs ). Q u e p e u t- o n d ire d u s o u s - s y s tè m e So r é d u it 3l F = 4 a v e c la
c o n tr a in te X2 > 0 ?
10. O n s e p la c e d é s o r m a is d a n s le c a s d u p e n d u le am orti ( y > 0 ).
- lin é a r is e r le s y s tè m e , d é s ig n é p a r 27, a u to u r d e s o n é q u ilib r e h a u t e\ = (n, 0 ).
- d é te r m in e r la n a tu r e d e l ’é q u ilib r e d u s y s tè m e lin é a r is é I \ .
- q u e p e u t- o n e n d é d u ir e q u a n t à l ’é q u ilib r e e\ d e 27 ?
11. M o n tr e r q u e la f o n c tio n F (x ) ( in tr o d u ite d a n s l ’é n o n c é a v a n t la q u e s tio n 3)
e s t u n e fo n c tio n d e L ia p o u n o v a u v o is in a g e d e eo- E n d é d u ir e la n a tu r e d e
l ’é q u ilib r e eo d e 27.
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s o u s la f o r m e x = f( x ) , a v e c jc G
O n n o te r a v =
j = le v e c te u r d ’é ta t,
e t S le s y s tè m e .
2 . D é te r m in e r le s é q u ilib r e s d u s y s tè m e .
D a n s la su ite, on p o s e r a F {x ) = xl^ — 2 c o s x \ + 2 . D a n s le systèm e a d im e n sio n
n e l c h o isi, F (x ) re p ré se n te le d o u b le d e V é n e rg ie to ta le (som m e d e l ’é n e rg ie
c in é tiq u e et d e l ’é n e rg ie p o te n tie lle ), p o s é e n u lle à l ’é q u ilib re b a s.
3 . O n s e p la c e ( q u e s tio n s 3 à 9 ) d a n s le c a s d u p en d u le non am orti ( y = 0 ).
(a ) V é r if ie r q u e V v G
F (x ) = 0.
(b ) D é d u ir e d e l ’é q u a tio n v é rifié e p a r to u te o r b ite q u ’il e x is te q u a tr e ty p e s
d ’o r b ite s ( é q u ilib r e s in c lu s ).
4 . L in é a r is e r S a u to u r d e s é q u ilib r e s b a s eo = (0 , 0 ) e t h a u t ei = (jt, 0 ).
O n d is c u te r a la n a tu r e d e s é q u ilib r e s d e s s y s tè m e s lin é a r is é s r e s p e c tif s ^Sq e t
5 1, e t d e s é v e n tu e lle s im p lic a tio n s s u r le s é q u ilib r e s eo t i e \ d e 5 .
5 . V é r if ie r q u e p o u r (q, p) = ( v i , X2) e t V(q) = - c o s <7 + 1, l ’h a m ilto n ie n
F lip , q) =
P
+ V(q) e s t l ’é n e rg ie to ta le F(x)!2.
M o n tr e r q u e V e s t s tr ic te m e n t m in im u m ( lo c a le m e n t) p o u r ^ = 0.
Q u ’e n d é d u it- o n q u a n t à l ’é q u ilib r e ^0 d e 5 ? ( v o ir l ’e x e rc ic e 6 .1 )
6. T r a c e r u n p o r tr a it d e p h a s e s d u s y s tè m e S .
7 . I d e n tif ie r le s v a rié té s r e m a r q u a b le s e n eo e t e n
.
8. I d e n tif ie r le s é v e n tu e lle s o r b ite s h o m o c lin e s e t h é té r o c lin e s .
9. O n c h o is it, p o u r c e tte q u e s tio n s e u le m e n t : x\ = 9 e R / 2 tt (o n n e « c o m p te
p a s » le s to u rs ). Q u e p e u t- o n d ire d u s o u s - s y s tè m e So r é d u it 3l F = 4 a v e c la
c o n tr a in te X2 > 0 ?
10. O n s e p la c e d é s o r m a is d a n s le c a s d u p e n d u le am orti ( y > 0 ).
- lin é a r is e r le s y s tè m e , d é s ig n é p a r 27, a u to u r d e s o n é q u ilib r e h a u t e\ = (n, 0 ).
- d é te r m in e r la n a tu r e d e l ’é q u ilib r e d u s y s tè m e lin é a r is é I \ .
- q u e p e u t- o n e n d é d u ir e q u a n t à l ’é q u ilib r e e\ d e 27 ?
11. M o n tr e r q u e la f o n c tio n F (x ) ( in tr o d u ite d a n s l ’é n o n c é a v a n t la q u e s tio n 3)
e s t u n e fo n c tio n d e L ia p o u n o v a u v o is in a g e d e eo- E n d é d u ir e la n a tu r e d e
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