8.6. Thème d’étude : le pendule
Problème 8 .1 Flot h é lic o ïd a l s u r le to re
D a n s c e t e x e rc ic e , on a d o p te le s n o ta tio n s d u § 8 .5 c o n c e rn a n t un f lo t s u r le tore.
U n flo t s u r T e s t in d u it p a r le flo t p la n
C e c i e s t lé g itim e c a r c e flo t p la n ,
c o n s ta n t, e s t d o n c e n p a r tic u lie r p é r io d iq u e d e p é r io d e s (0 , 1) e t ( 1, 0), c o n d itio n
r e q u is e p o u r la d é fin itio n d ’u n flo t s u r T . L e b u t d e l ’e x e rc ic e e s t d e c la s s e r le s d iv e rs
ty p e s d e tra je c to ir e s o b te n u s s e lo n le s v a le u r s d e b e t c, d a n s le s q u a tr e c a s s u iv a n ts :
1 . b = c = 0 . V é r if ie r q u e to u t p o in t d e T e s t u n é q u ilib r e .
2 . /? = 0 , c 9^ 0 o u ^ 0 , c = 0. M o n tr e r q u e to u te tr a je c to ir e e s t un c y c le .
c
b
- G Q *. M o n tr e r q u e to u te tr a je c to ir e e s t u n c y c le .
b
c
4. ¿7 9^: 0 , - ^ Q . M o n te r q u e to u te o r b ite e s t partou t den se su r T .
b
8.6 T h èm e d ’é t u d e : LE PENDULE
L e b u t d e c e tte é tu d e , p r é s e n té e s o u s f o r m e d ’u n p r o b lè m e , e s t d ’illu s tr e r p lu s ie u rs
n o tio n s f o n d a m e n ta le s c o n c e r n a n t le s s y s tè m e s n o n - lin é a ir e s p a r l ’e x e m p le c o n c r e t
d u p e n d u le p e s a n t, a m o r ti o u n o n .
Q u e le le c te u r h a b itu é a u c o n f o r t d e R " se r a s s u r e : le p e n d u le s e ra m o d é lis é
d a n s R ^ . S e u le la q u e s tio n 9 s e ra l ’o c c a s io n d ’u n e r a p id e e x c u r s io n h o rs d e R'^, c e
q u i su ffit c e p e n d a n t à r a tta c h e r c e th è m e a u p r é s e n t c h a p itre .
T J
O
c
rj
û
kD
O
rs]
ai
>C L
O
U
8.6.1 Le pendule : énoncé
O n c o n s id è r e u n p e n d u le c o n s titu é d ’u n e m a s s e p o n c
tu e lle s itu é e à l ’e x tr é m ité d ’u n e tig e r ig id e s a n s m a s s e .
S a p o s itio n e s t r e p é r é e p a r l ’a n g le 0 q u e la tig e fa it
a v e c la v e rtic a le d e s c e n d a n te (v o ir fig u re ). O n c h o is it
0 G R , c e q u i p e r m e t d e te n ir c o m p te d u n o m b r e d e
to u rs fa its p a r le p e n d u le a u to u r d e l ’a x e . N o u s a v o n s
é ta b li a u § 1 .2 .3 q u ’a v e c d e s u n ité s c o n v e n a b le s , 6 s a
tis f a it l ’é q u a tio n d iff é re n tie lle d ’o r d r e 2 : 6 + sinO = 0
( c a s d u p e n d u le n o n a m o r ti) o u l ’é q u a tio n :
û
©
l’a m o r tis s e m e n t) .
ê + y è + sinO = 0 (c a s d u p e n d u le a m o r ti, y > 0 é ta n t
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Problème 8 .1 Flot h é lic o ïd a l s u r le to re
D a n s c e t e x e rc ic e , on a d o p te le s n o ta tio n s d u § 8 .5 c o n c e rn a n t un f lo t s u r le tore.
U n flo t s u r T e s t in d u it p a r le flo t p la n
C e c i e s t lé g itim e c a r c e flo t p la n ,
c o n s ta n t, e s t d o n c e n p a r tic u lie r p é r io d iq u e d e p é r io d e s (0 , 1) e t ( 1, 0), c o n d itio n
r e q u is e p o u r la d é fin itio n d ’u n flo t s u r T . L e b u t d e l ’e x e rc ic e e s t d e c la s s e r le s d iv e rs
ty p e s d e tra je c to ir e s o b te n u s s e lo n le s v a le u r s d e b e t c, d a n s le s q u a tr e c a s s u iv a n ts :
1 . b = c = 0 . V é r if ie r q u e to u t p o in t d e T e s t u n é q u ilib r e .
2 . /? = 0 , c 9^ 0 o u ^ 0 , c = 0. M o n tr e r q u e to u te tr a je c to ir e e s t un c y c le .
c
b
- G Q *. M o n tr e r q u e to u te tr a je c to ir e e s t u n c y c le .
b
c
4. ¿7 9^: 0 , - ^ Q . M o n te r q u e to u te o r b ite e s t partou t den se su r T .
b
8.6 T h èm e d ’é t u d e : LE PENDULE
L e b u t d e c e tte é tu d e , p r é s e n té e s o u s f o r m e d ’u n p r o b lè m e , e s t d ’illu s tr e r p lu s ie u rs
n o tio n s f o n d a m e n ta le s c o n c e r n a n t le s s y s tè m e s n o n - lin é a ir e s p a r l ’e x e m p le c o n c r e t
d u p e n d u le p e s a n t, a m o r ti o u n o n .
Q u e le le c te u r h a b itu é a u c o n f o r t d e R " se r a s s u r e : le p e n d u le s e ra m o d é lis é
d a n s R ^ . S e u le la q u e s tio n 9 s e ra l ’o c c a s io n d ’u n e r a p id e e x c u r s io n h o rs d e R'^, c e
q u i su ffit c e p e n d a n t à r a tta c h e r c e th è m e a u p r é s e n t c h a p itre .
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8.6.1 Le pendule : énoncé
O n c o n s id è r e u n p e n d u le c o n s titu é d ’u n e m a s s e p o n c
tu e lle s itu é e à l ’e x tr é m ité d ’u n e tig e r ig id e s a n s m a s s e .
S a p o s itio n e s t r e p é r é e p a r l ’a n g le 0 q u e la tig e fa it
a v e c la v e rtic a le d e s c e n d a n te (v o ir fig u re ). O n c h o is it
0 G R , c e q u i p e r m e t d e te n ir c o m p te d u n o m b r e d e
to u rs fa its p a r le p e n d u le a u to u r d e l ’a x e . N o u s a v o n s
é ta b li a u § 1 .2 .3 q u ’a v e c d e s u n ité s c o n v e n a b le s , 6 s a
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( c a s d u p e n d u le n o n a m o r ti) o u l ’é q u a tio n :
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