Chapitre 8 • Flots hors de R”
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t H
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(N
x:
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>•
Q .
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U
opérées perm ettent bien de définir une variété de dimension 2, qui est localem ent
hom éom orphe à une portion du plan M?. Ainsi, pou r construire topologiquem ent un
tore, il fa u t déjà connaître M? mais il n ’est pas nécessaire de connaître M?.
2) On trouvera une définition plus fo rm elle du tore en tant que variété dans l ’exercice J3.2 (annexe 2, paragraphe « variétés »).
L a c o n s tr u c tio n d u to re fa ite c i- d e s s u s a in s i q u e c e lle , p lu s f o rm e lle , d e l ’e x e r
c ic e 1 3.2 é q u iv a le n t à la s u iv a n te : id e n tif io n s A D e t A B r e s p e c tiv e m e n t a u x v e c te u rs
(1 , 0 ) e t (0 , 1) d u p la n v e c to r ie l
q u i s u p p o r te le c a rré . D a n s le p la n , d é fin is s o n s la
r e la tio n d ’é q u iv a le n c e ( x i , i/i) ~ (x2, iji) < = ^ (-^i ~ •^2> i/i ~ Ui) ^
O n d é fin it le
to re c o m m e e n s e m b le q u o tie n t d e
p a r
C e tte d é fin itio n à p e in e p lu s a b s tr a ite q u e
la p r é c é d e n te , m a is é q u iv a le n te , p e r m e t d e m u n ir le to re d e la to p o lo g ie q u o tie n t d e
c e lle d e R ^ p a r la r e la tio n d ’é q u iv a le n c e
C ’e s t la m ê m e to p o lo g ie q u e c e lle d é d u ite
d e la p r e m iè r e d é fin itio n .
U n flo t s u r R ^ d e p é r io d e s ( 1 ,0 ) e t ( 0 ,1 ) , c ’e s t- à - d ir e tel q u e p o u r to u t (p, q) e 7 ? ,
o n a it f ( x + p, y
q) = f ( x , y) in d u it u n flo t s u r T . C o n s id é r o n s le s y s tè m e d é fin i
s u r
= R ^ p a r Z = a, où a e s t u n v e c te u r c o n s ta n t d o n n é d e R ^ . L e s tr a je c to ir e s s o n t
d a n s R ^ d e s d r o ite s p a r c o u r u e s à la v ite s s e c o n s ta n te a. S u r T , c e s o n t d e s h é lic e s
q u i s ’e n r o u le n t a u to u r d u to re . S i a = (0 , c) ou a = (c , 0 ), to u te tra je c to ir e s u r T e s t
u n « c e r c le d é c r it à v ite s s e c o n s ta n te », d e p é r io d e 1/c , s a u f b ie n s û r d a n s le c a s o ù
c = 0 , q u i c o r r e s p o n d à u n é q u ilib r e . S in o n , a = (a, J3) a v e c a e t /3 n o n to u s n u is , p a r
e x e m p le /3 0 ( m ê m e a p p r o c h e si or ^ 0 ). Il y a a lo rs 2 c a s :
a
• P r e m ie r c a s : — G Q ; a lo rs , to u te tr a je c to ir e e s t p é r io d iq u e ;
a
• D e u x iè m e c a s : — ^ Q ; a lo rs , to u te tra je c to ir e s ’e n r o u le in d é f in im e n t a u to u r d u
to re e t l ’o r b ite c o r r e s p o n d a n te y e s t partout dense.
L a v a lid a tio n d e c e s d e u x c a s n e p r é s e n te g u è r e d e d iffic u lté . E lle e s t trè s lié e a u x
d e u x e x e rc ic e s s u iv a n ts .
f --------------------------------------------------------Exercice 8.2 Pour a ^ Q, la distance de aZ* à Z est nulle
On montre dans cet exercice que tout irrationnel possède des multiples entiers non
nuis approchant un entier arbitrairement près.
S o it a u n ré e l irr a tio n n e l, ô - d(ô, Z ) sa d is ta n c e à Z . O n a d o n c a = m ± ô, a v e c
m G Z . O n s u p p o s e q u e a = m -h ù (le c a s a = m - ô se tr a ita n t d e f a ç o n a n a lo g u e ).
1. S o it A la p a rtie e n tiè r e d e \/ô. M o n tr e r q u e la d is ta n c e à Z d e l ’u n d e s d e u x
n o m b re s A .a e t (A + l ) . a e s t in f é r ie u r e o u é g a le à ù /2 .
2 . E n d é d u ir e q u e la d is ta n c e e n tr e û'Z* e t Z e s t n u lle .
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hom éom orphe à une portion du plan M?. Ainsi, pou r construire topologiquem ent un
tore, il fa u t déjà connaître M? mais il n ’est pas nécessaire de connaître M?.
2) On trouvera une définition plus fo rm elle du tore en tant que variété dans l ’exercice J3.2 (annexe 2, paragraphe « variétés »).
L a c o n s tr u c tio n d u to re fa ite c i- d e s s u s a in s i q u e c e lle , p lu s f o rm e lle , d e l ’e x e r
c ic e 1 3.2 é q u iv a le n t à la s u iv a n te : id e n tif io n s A D e t A B r e s p e c tiv e m e n t a u x v e c te u rs
(1 , 0 ) e t (0 , 1) d u p la n v e c to r ie l
q u i s u p p o r te le c a rré . D a n s le p la n , d é fin is s o n s la
r e la tio n d ’é q u iv a le n c e ( x i , i/i) ~ (x2, iji) < = ^ (-^i ~ •^2> i/i ~ Ui) ^
O n d é fin it le
to re c o m m e e n s e m b le q u o tie n t d e
p a r
C e tte d é fin itio n à p e in e p lu s a b s tr a ite q u e
la p r é c é d e n te , m a is é q u iv a le n te , p e r m e t d e m u n ir le to re d e la to p o lo g ie q u o tie n t d e
c e lle d e R ^ p a r la r e la tio n d ’é q u iv a le n c e
C ’e s t la m ê m e to p o lo g ie q u e c e lle d é d u ite
d e la p r e m iè r e d é fin itio n .
U n flo t s u r R ^ d e p é r io d e s ( 1 ,0 ) e t ( 0 ,1 ) , c ’e s t- à - d ir e tel q u e p o u r to u t (p, q) e 7 ? ,
o n a it f ( x + p, y
q) = f ( x , y) in d u it u n flo t s u r T . C o n s id é r o n s le s y s tè m e d é fin i
s u r
= R ^ p a r Z = a, où a e s t u n v e c te u r c o n s ta n t d o n n é d e R ^ . L e s tr a je c to ir e s s o n t
d a n s R ^ d e s d r o ite s p a r c o u r u e s à la v ite s s e c o n s ta n te a. S u r T , c e s o n t d e s h é lic e s
q u i s ’e n r o u le n t a u to u r d u to re . S i a = (0 , c) ou a = (c , 0 ), to u te tra je c to ir e s u r T e s t
u n « c e r c le d é c r it à v ite s s e c o n s ta n te », d e p é r io d e 1/c , s a u f b ie n s û r d a n s le c a s o ù
c = 0 , q u i c o r r e s p o n d à u n é q u ilib r e . S in o n , a = (a, J3) a v e c a e t /3 n o n to u s n u is , p a r
e x e m p le /3 0 ( m ê m e a p p r o c h e si or ^ 0 ). Il y a a lo rs 2 c a s :
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• P r e m ie r c a s : — G Q ; a lo rs , to u te tr a je c to ir e e s t p é r io d iq u e ;
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• D e u x iè m e c a s : — ^ Q ; a lo rs , to u te tra je c to ir e s ’e n r o u le in d é f in im e n t a u to u r d u
to re e t l ’o r b ite c o r r e s p o n d a n te y e s t partout dense.
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d e u x e x e rc ic e s s u iv a n ts .
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On montre dans cet exercice que tout irrationnel possède des multiples entiers non
nuis approchant un entier arbitrairement près.
S o it a u n ré e l irr a tio n n e l, ô - d(ô, Z ) sa d is ta n c e à Z . O n a d o n c a = m ± ô, a v e c
m G Z . O n s u p p o s e q u e a = m -h ù (le c a s a = m - ô se tr a ita n t d e f a ç o n a n a lo g u e ).
1. S o it A la p a rtie e n tiè r e d e \/ô. M o n tr e r q u e la d is ta n c e à Z d e l ’u n d e s d e u x
n o m b re s A .a e t (A + l ) . a e s t in f é r ie u r e o u é g a le à ù /2 .
2 . E n d é d u ir e q u e la d is ta n c e e n tr e û'Z* e t Z e s t n u lle .
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