Chapitre 8 • Flots hors de R"
P o u r n p a ir, to u t s y s tè m e d y n a m iq u e c o n tin u s u r la s p h è re
y p o s s è d e a u m o in s
u n é q u ilib r e .
8.4.2 n impair
P o u r n im p a ir, n o u s s a v o n s d é jà q u e le th é o r è m e d e la s p h è re c h e v e lu e n e s ’a p p liq u e
p a s . E n e ffe t, p o u r n = 1 ,5 '* n ’e s t a u tr e q u ’u n c e r c le e t n o u s d is p o s o n s d e l ’e x e m p le
triv ia l d ’u n e r o ta tio n u n if o r m e d e l ’é ta t x , flo t é v id e m m e n t d é p o u r v u d ’é q u ilib r e .
P lo n g é d a n s
e u c lid ie n , S ' e s t l ’e n s e m b le d e s p o in ts jc = ( jc i, X2) e IR^ te ls q u e
+ X2 = 1. O n p e u t illu s tr e r u n flo t c o n s ta n t ( u n e « v ite s s e a n g u la ir e » v c o n s ta n te )
s u r S ' p a r le c h a m p ( x i , ^ 2 ) g 5" ' 1 -^ (-v .X 2, v.x\), v e c te u r d e
o r th o g o n a l à S '
e n X.
C e détour artificiel par R ^ ne doit pas nous faire oublier qu 'en tout point de
, x
est un élém ent d e ^ { e n V occurence v e W ) et non de R ^.
D è s lo rs , u n e g é n é r a lis a tio n e s t p o s s ib le s u r l ’id é e s u iv a n te :
e s t l ’e n s e m b le
d e s X = ( j i i , X2 , • • • , X2n) ^ R ^ ” d e n o r m e e u c lid ie n n e 1.
Il su ffit d e r e m a r q u e r q u e f { x ) = ( - X 2, x \ , - X 4 , X3, • • • , - X 2n, X2n-\) e s t o r th o
g o n a l à X e t se s itu e d o n c d a n s u n e s p a c e v e c to r ie l d e d im e n s io n (2n - 1) ta n g e n t
à 5 ^ ”“ * e n X. C e t e s p a c e
fig u re l ’e n s e m b le d e s v a le u r s p o s s ib le s d e x. L e flo t
a in s i d é fin i n e s ’a n n u le J a m a is c a r V x e 5 ^ " “ ' , ||/ ( x ) || = 1. E n r é s u m é :
Flot sur
S u r to u te s p h è re
d e d im e n s io n im p a ir e , il e x is te u n flo t n ’a d m e tta n t a u c u n
é q u ilib r e .
■a
O
c
D
Q
kD
O
rs]
S i c e r é s u lta t é ta it f a u x , il s e r a it im p o s s ib le d e f a ir e to u r n e r u n e r o u e à v ite s s e
c o n s ta n te ... e t le m a r c h é d e s r é g u la te u r s d e v ite s s e s ’e f f o n d r e r a it !
V o ici e n h n u n e x e r c ic e d a n s le q u e l Q. e s t u n e p a rtie p r o p r e d e la s p h è re 5 ^ . Il
é v o q u e le s n o tio n s d e n a is s a n c e e x p lo s iv e e t d e m o r t im p lo s iv e , d é fin ie s a u p a r a
g r a p h e 1 .2 .1 . C e s d e u x n o tio n s s ’é c h a n g e n t p a r in v e r s io n d u te m p s .
>Q .
O
U
Exercice 8. J N a issa n ce e x p lo siv e, m o r t im p lo siv e
S u r Î2, s p h è re e u c lid ie n n e d e ra y o n 1 p r iv é e d e s e s p ô le s n o r d e t su d , u n p o in t e s t
r e p é r é p a r sa lo n g itu d e À e ] - n, + n ] e t s a la titu d e (p e.
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P o u r n p a ir, to u t s y s tè m e d y n a m iq u e c o n tin u s u r la s p h è re
y p o s s è d e a u m o in s
u n é q u ilib r e .
8.4.2 n impair
P o u r n im p a ir, n o u s s a v o n s d é jà q u e le th é o r è m e d e la s p h è re c h e v e lu e n e s ’a p p liq u e
p a s . E n e ffe t, p o u r n = 1 ,5 '* n ’e s t a u tr e q u ’u n c e r c le e t n o u s d is p o s o n s d e l ’e x e m p le
triv ia l d ’u n e r o ta tio n u n if o r m e d e l ’é ta t x , flo t é v id e m m e n t d é p o u r v u d ’é q u ilib r e .
P lo n g é d a n s
e u c lid ie n , S ' e s t l ’e n s e m b le d e s p o in ts jc = ( jc i, X2) e IR^ te ls q u e
+ X2 = 1. O n p e u t illu s tr e r u n flo t c o n s ta n t ( u n e « v ite s s e a n g u la ir e » v c o n s ta n te )
s u r S ' p a r le c h a m p ( x i , ^ 2 ) g 5" ' 1 -^ (-v .X 2, v.x\), v e c te u r d e
o r th o g o n a l à S '
e n X.
C e détour artificiel par R ^ ne doit pas nous faire oublier qu 'en tout point de
, x
est un élém ent d e ^ { e n V occurence v e W ) et non de R ^.
D è s lo rs , u n e g é n é r a lis a tio n e s t p o s s ib le s u r l ’id é e s u iv a n te :
e s t l ’e n s e m b le
d e s X = ( j i i , X2 , • • • , X2n) ^ R ^ ” d e n o r m e e u c lid ie n n e 1.
Il su ffit d e r e m a r q u e r q u e f { x ) = ( - X 2, x \ , - X 4 , X3, • • • , - X 2n, X2n-\) e s t o r th o
g o n a l à X e t se s itu e d o n c d a n s u n e s p a c e v e c to r ie l d e d im e n s io n (2n - 1) ta n g e n t
à 5 ^ ”“ * e n X. C e t e s p a c e
fig u re l ’e n s e m b le d e s v a le u r s p o s s ib le s d e x. L e flo t
a in s i d é fin i n e s ’a n n u le J a m a is c a r V x e 5 ^ " “ ' , ||/ ( x ) || = 1. E n r é s u m é :
Flot sur
S u r to u te s p h è re
d e d im e n s io n im p a ir e , il e x is te u n flo t n ’a d m e tta n t a u c u n
é q u ilib r e .
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S i c e r é s u lta t é ta it f a u x , il s e r a it im p o s s ib le d e f a ir e to u r n e r u n e r o u e à v ite s s e
c o n s ta n te ... e t le m a r c h é d e s r é g u la te u r s d e v ite s s e s ’e f f o n d r e r a it !
V o ici e n h n u n e x e r c ic e d a n s le q u e l Q. e s t u n e p a rtie p r o p r e d e la s p h è re 5 ^ . Il
é v o q u e le s n o tio n s d e n a is s a n c e e x p lo s iv e e t d e m o r t im p lo s iv e , d é fin ie s a u p a r a
g r a p h e 1 .2 .1 . C e s d e u x n o tio n s s ’é c h a n g e n t p a r in v e r s io n d u te m p s .
>Q .
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Exercice 8. J N a issa n ce e x p lo siv e, m o r t im p lo siv e
S u r Î2, s p h è re e u c lid ie n n e d e ra y o n 1 p r iv é e d e s e s p ô le s n o r d e t su d , u n p o in t e s t
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