8.4. Flot sur la sphère S”
Théorème de la sphère chevelue
Tou t sy stè m e d y n a m iq u e co n tin u s u r la sp h è re
y p o s s è d e au m o in s un é q u ilib re .
Remarques
1. Le théorème est énoncé dans le vocabulaire des systèmes. Il équivaut à l’énoncé
« tout champ de vecteurs continu sur la sphère
s’y annule en un point au
moins. »
2. Le nombre d’équilibres peut être exactement 1, comme l’illustre la figure 8.4.
8.3.2 Un équilibre attractif et répulsif en dimension 2
S u r la s p h è r e Q, d e R ^ , d é fin is s o n s a in s i le s y s tè m e S d e d im e n s io n 2 :
• le s tr a je c to ir e s s o n t :
- to u s le s c e r c le s d e Î2 ta n g e n ts e n A a u g r a n d c e r c le (C ), m a is p riv é s d u p o in t A ;
- le p o in t A , u n iq u e é q u ilib r e d u s y s tè m e .
• e n .r G n , la tr a je c to ir e e s t d é c r ite à la v ite s s e lin é a ir e d ( x , A ), d d é s ig n a n t la
d is ta n c e d a n s
;
• le s e n s d e p a r c o u r s d e s tr a je c to ir e s e s t c e lu i r e p r é s e n té s u r la fig u re 8 .4 .
T J
O
c
rj
û
«JD
t H
O
CM
(y)
X I
OJ
>Q.
O
U
Q
©
Figure 8.4- Un équilibre attractif instable sur S^.
Q u a lita tiv e m e n t, la d is c u s s io n e s t d e m ê m e ty p e q u e p o u r le p r e m ie r e x e m p le , à
c e c i p r è s q u e l ’e s p a c e d ’é ta ts e s t ic i u n e s p h è re e t q u ’il e x is te u n e in fin ité d ’o r b ite s
d is tin c te s . A e s t u n é q u ilib r e attractif, r é p u ls if et instable.
8.4 F l o t su r la s p h è r e S"
8.4.1 n pair
A u te r m e d ’u n e d é m o n s tr a tio n a s s e z te c h n iq u e q u e n o u s n e r e p r o d u ir o n s p a s , le th é o
r è m e d e la s p h è re c h e v e lu e se g é n é r a lis e à to u t n p a ir.
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Théorème de la sphère chevelue
Tou t sy stè m e d y n a m iq u e co n tin u s u r la sp h è re
y p o s s è d e au m o in s un é q u ilib re .
Remarques
1. Le théorème est énoncé dans le vocabulaire des systèmes. Il équivaut à l’énoncé
« tout champ de vecteurs continu sur la sphère
s’y annule en un point au
moins. »
2. Le nombre d’équilibres peut être exactement 1, comme l’illustre la figure 8.4.
8.3.2 Un équilibre attractif et répulsif en dimension 2
S u r la s p h è r e Q, d e R ^ , d é fin is s o n s a in s i le s y s tè m e S d e d im e n s io n 2 :
• le s tr a je c to ir e s s o n t :
- to u s le s c e r c le s d e Î2 ta n g e n ts e n A a u g r a n d c e r c le (C ), m a is p riv é s d u p o in t A ;
- le p o in t A , u n iq u e é q u ilib r e d u s y s tè m e .
• e n .r G n , la tr a je c to ir e e s t d é c r ite à la v ite s s e lin é a ir e d ( x , A ), d d é s ig n a n t la
d is ta n c e d a n s
;
• le s e n s d e p a r c o u r s d e s tr a je c to ir e s e s t c e lu i r e p r é s e n té s u r la fig u re 8 .4 .
T J
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CM
(y)
X I
OJ
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Figure 8.4- Un équilibre attractif instable sur S^.
Q u a lita tiv e m e n t, la d is c u s s io n e s t d e m ê m e ty p e q u e p o u r le p r e m ie r e x e m p le , à
c e c i p r è s q u e l ’e s p a c e d ’é ta ts e s t ic i u n e s p h è re e t q u ’il e x is te u n e in fin ité d ’o r b ite s
d is tin c te s . A e s t u n é q u ilib r e attractif, r é p u ls if et instable.
8.4 F l o t su r la s p h è r e S"
8.4.1 n pair
A u te r m e d ’u n e d é m o n s tr a tio n a s s e z te c h n iq u e q u e n o u s n e r e p r o d u ir o n s p a s , le th é o
r è m e d e la s p h è re c h e v e lu e se g é n é r a lis e à to u t n p a ir.
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