Chapitre 8 • Flots hors de R"
Figure 8 .2 - Au pôle Nord.
Figure de gauche : x décrit le p etit cercle C d an s le sens positif.
Figure de droite : d an s le repère (/, J) d ’origine I, le vecteu r u{x) décrit dans le sens n égatif
la courbe F, qui e st proche d ’un cercle de cen tre /.
S u iv o n s n o tre c e r c le C l o r s q u ’o n d o n n e à a d e s v a le u r s p lu s fa ib le s . P o u r a = 0 , C
e s t le c e r c le u n ité d u p la n X2 = 0. D im in u o n s e n c o r e cz j u s q u ’à u n e v a le u r a p p r o c h a n t
- 1 p a r e x c è s : C se tro u v e a lo r s à p r o x im ité d e S (fig u re 8 .3 ). O b s e r v o n s e n c o r e
le lie u g é o m é tr iq u e F d e s p o s itio n s d e u (x ) d a n s n o tre r e p è r e (/, j ) . T o u jo u rs v u d e
l ’e x té r ie u r d e la s p h è re ( d é s o r m a is d o n c « d e d e s s o u s » ), x p a r c o u r t m a in te n a n t C
d a n s le s e n s n é g a tif e t u {x ) p a r c o u r t u n lie u F p r o ch e d^un cercle d e ra y o n ||« ( 5 ) ||,
d a n s le s e n s direct.
T J
O
c
rj
û
«JD
t H
O
CM
ai
's_
>.
C L
O
U
Figure 8 .3 - Au pôle Sud.
Figure de gauche : x décrit le petit cercle C d an s le sens négatif.
Figure de droite : d an s le repère (/, J) d ’origine I, le v ecteu r u{x) décrit dans le sens positif
la courbe F, qui e st proche d ’un cercle de centre /.
E n c o n c lu s io n , lo r s q u e .r p a r c o u r t C , le n o m b r e d e to u rs e ff e c tu é s p a r le v e c te u r
u (x ) a u to u r d e l ’o r ig in e I d u r e p è r e (/, j ) é v o lu e d e - 1 ( p o u r a p r o c h e d e 1) à + 1
( p o u r a p r o c h e d e - 1 ) . C o m m e F se d é f o r m e c o n tin û m e n t lo r s q u e a v a rie , c e c i n ’e s t
p o s s ib le q u e si p o u r a u m o in s u n e v a le u r d e a , F v ie n t « to u c h e r » l ’o r ig in e I d u
r e p è r e (/, j ) . M a is c e la s ig n ifie q u ’il e x is te .v tel q u e u (x ) = 0 , c e q u i e s t c o n tr a ir e à
n o tre h y p o th è s e . Il f a u t d o n c r e je te r c e tte d e r n iè r e , c e q u i c o n d u it a u « th é o r è m e d e
la s p h è re c h e v e lu e ». C e tte im a g e e s t in s p ir é e p a r l ’a n a lo g ie e n tr e u n v e c te u r d e 5 ^ e t
u n c h e v e u ta n g e n t a u c u ir c h e v e lu ... le r é s u lta t n ’a u to r is e d o n c a u c u n é p i !
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Figure 8 .2 - Au pôle Nord.
Figure de gauche : x décrit le p etit cercle C d an s le sens positif.
Figure de droite : d an s le repère (/, J) d ’origine I, le vecteu r u{x) décrit dans le sens n égatif
la courbe F, qui e st proche d ’un cercle de cen tre /.
S u iv o n s n o tre c e r c le C l o r s q u ’o n d o n n e à a d e s v a le u r s p lu s fa ib le s . P o u r a = 0 , C
e s t le c e r c le u n ité d u p la n X2 = 0. D im in u o n s e n c o r e cz j u s q u ’à u n e v a le u r a p p r o c h a n t
- 1 p a r e x c è s : C se tro u v e a lo r s à p r o x im ité d e S (fig u re 8 .3 ). O b s e r v o n s e n c o r e
le lie u g é o m é tr iq u e F d e s p o s itio n s d e u (x ) d a n s n o tre r e p è r e (/, j ) . T o u jo u rs v u d e
l ’e x té r ie u r d e la s p h è re ( d é s o r m a is d o n c « d e d e s s o u s » ), x p a r c o u r t m a in te n a n t C
d a n s le s e n s n é g a tif e t u {x ) p a r c o u r t u n lie u F p r o ch e d^un cercle d e ra y o n ||« ( 5 ) ||,
d a n s le s e n s direct.
T J
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C L
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Figure 8 .3 - Au pôle Sud.
Figure de gauche : x décrit le petit cercle C d an s le sens négatif.
Figure de droite : d an s le repère (/, J) d ’origine I, le v ecteu r u{x) décrit dans le sens positif
la courbe F, qui e st proche d ’un cercle de centre /.
E n c o n c lu s io n , lo r s q u e .r p a r c o u r t C , le n o m b r e d e to u rs e ff e c tu é s p a r le v e c te u r
u (x ) a u to u r d e l ’o r ig in e I d u r e p è r e (/, j ) é v o lu e d e - 1 ( p o u r a p r o c h e d e 1) à + 1
( p o u r a p r o c h e d e - 1 ) . C o m m e F se d é f o r m e c o n tin û m e n t lo r s q u e a v a rie , c e c i n ’e s t
p o s s ib le q u e si p o u r a u m o in s u n e v a le u r d e a , F v ie n t « to u c h e r » l ’o r ig in e I d u
r e p è r e (/, j ) . M a is c e la s ig n ifie q u ’il e x is te .v tel q u e u (x ) = 0 , c e q u i e s t c o n tr a ir e à
n o tre h y p o th è s e . Il f a u t d o n c r e je te r c e tte d e r n iè r e , c e q u i c o n d u it a u « th é o r è m e d e
la s p h è re c h e v e lu e ». C e tte im a g e e s t in s p ir é e p a r l ’a n a lo g ie e n tr e u n v e c te u r d e 5 ^ e t
u n c h e v e u ta n g e n t a u c u ir c h e v e lu ... le r é s u lta t n ’a u to r is e d o n c a u c u n é p i !
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