8.3. Flot sur la sphère
O n p e u t re p ré se n te r a in s i une tra je c to ire :
L e c e rc le fig u r e l ’en sem b le L l, q u i e st a u s s i c e lu i d e s p o
s itio n s d e la m a sse du p e n d u le . M a is le p la n so u s-ja c e n t
n ’a p a s d e s ig n ific a tio n en term es d e systèm e.
L e p o in t d ’é q u ilib re haut, q u i co n stitu e en lui-m êm e une
o rb ite , p e u t être q u a lifié d e sem i-sta b le.
L ’é q u ilib r e
attractif, r ép u lsif e t instable.
D a n s c e s y s tè m e в t i O n ’a p p a r tie n n e n t p a s a u m ê m e e n s e m b le \ 0 e Ll, Ô G R .
C e t e x e m p le s e rt d e s u p p o r t à la q u e s tio n 9 d u th è m e d ’é tu d e « le p e n d u le », e n fin d e
c h a p itre . O n p e u t a u s s i le c o n s id é r e r c o m m e u n e v a ria n te « d é g é n é r é e » d u s y s tè m e
d é c r it p a r la fig u re 7 .7 , si l ’o n fix e (/?. O n p e u t e n fin le r a p p r o c h e r d e l ’e x e m p le d ’u n
s y s tè m e r é d u it à u n e tr a je c to ir e h o m o c lin e e t à l ’é q u ilib r e c o rr e s p o n d a n t.
■a
O
c
=3
Q
Ю
t H
O
(N
X I
03
>•
Q .
O
U
8.3 F lo t sur la sp h èr e
8-3-1 Nécessité d’un équilibre sur 5^
D a n s to u t d o m a in e p la n , o n p e u t d é fin ir d e s flo ts d e c la s s e
sans équilibre, p a r
e x e m p le le flo t c o n s ta n t f { x ) = u e R ^*. M a is c e tte s itu a tio n p o u r ta n t trè s s im p le
d e v ie n t im p o s s ib le s u r la s p h è re .
schéma de démonstration : c o n s id é r o n s la s p h è re u n ité 5 ^ d e R'^, d ’é q u a tio n
+
X2 + x^ = 1. S e s p o in ts X3 = 1 e t X3 = - 1 s o n t a p p e lé s r e s p e c tiv e m e n t N ( c o m m e
N o r d ) e t S ( c o m m e S u d ).
H y p o th è s e : il e x is te s u r la s p h è re
u n c h a m p d e v e c te u rs q u i n e s ’a n n u le p a s ; o n
p e u t le r e p r é s e n te r c o m m e u n c h a m p d e v e c te u rs d e R ^ d é fin is s u r 5 ^ e t ta n g e n ts à
c e tte d e rn iè re . S u r le p e tit c e r c le xt, = a de S^^ p r o c h e d e N , b a p tis é C , le c h a m p a
u n e v a le u r a u s s i p r o c h e d e s a v a le u r u{N) e n N q u ’o n le d é s ir e , m o y e n n a n t le c h o ix
d ’u n a s u ff is a m m e n t p r o c h e d e 1. E n c h a q u e p o in t x d e C , le p la n ta n g e n t à 5 ^ e n
X p o s s è d e u n r e p è r e o r th o g o n a l (/, j ) tel q u e / e s t ta n g e n t à C e t j o r ie n té v e rs N .
O b s e r v o n s le lie u g é o m é tr iq u e F d e s p o s itio n s d e u{x) d a n s n o tre r e p è r e lo rs q u e jc
p a r c o u r t C d a n s le s e n s direct v u d e l ’e x té r ie u r d e 5 ^ (d o n c « d e d e s s u s » ) ; u{x) é ta n t
trè s v o is in d e u{N), ce lie u e s t p r o ch e d^un cercle d e r a y o n ||w(A^)||, p a rc o u r u d a n s le
s e n s n ég a tif.
a
@
115
O n p e u t re p ré se n te r a in s i une tra je c to ire :
L e c e rc le fig u r e l ’en sem b le L l, q u i e st a u s s i c e lu i d e s p o
s itio n s d e la m a sse du p e n d u le . M a is le p la n so u s-ja c e n t
n ’a p a s d e s ig n ific a tio n en term es d e systèm e.
L e p o in t d ’é q u ilib re haut, q u i co n stitu e en lui-m êm e une
o rb ite , p e u t être q u a lifié d e sem i-sta b le.
L ’é q u ilib r e
attractif, r ép u lsif e t instable.
D a n s c e s y s tè m e в t i O n ’a p p a r tie n n e n t p a s a u m ê m e e n s e m b le \ 0 e Ll, Ô G R .
C e t e x e m p le s e rt d e s u p p o r t à la q u e s tio n 9 d u th è m e d ’é tu d e « le p e n d u le », e n fin d e
c h a p itre . O n p e u t a u s s i le c o n s id é r e r c o m m e u n e v a ria n te « d é g é n é r é e » d u s y s tè m e
d é c r it p a r la fig u re 7 .7 , si l ’o n fix e (/?. O n p e u t e n fin le r a p p r o c h e r d e l ’e x e m p le d ’u n
s y s tè m e r é d u it à u n e tr a je c to ir e h o m o c lin e e t à l ’é q u ilib r e c o rr e s p o n d a n t.
■a
O
c
=3
Q
Ю
t H
O
(N
X I
03
>•
Q .
O
U
8.3 F lo t sur la sp h èr e
8-3-1 Nécessité d’un équilibre sur 5^
D a n s to u t d o m a in e p la n , o n p e u t d é fin ir d e s flo ts d e c la s s e
sans équilibre, p a r
e x e m p le le flo t c o n s ta n t f { x ) = u e R ^*. M a is c e tte s itu a tio n p o u r ta n t trè s s im p le
d e v ie n t im p o s s ib le s u r la s p h è re .
schéma de démonstration : c o n s id é r o n s la s p h è re u n ité 5 ^ d e R'^, d ’é q u a tio n
+
X2 + x^ = 1. S e s p o in ts X3 = 1 e t X3 = - 1 s o n t a p p e lé s r e s p e c tiv e m e n t N ( c o m m e
N o r d ) e t S ( c o m m e S u d ).
H y p o th è s e : il e x is te s u r la s p h è re
u n c h a m p d e v e c te u rs q u i n e s ’a n n u le p a s ; o n
p e u t le r e p r é s e n te r c o m m e u n c h a m p d e v e c te u rs d e R ^ d é fin is s u r 5 ^ e t ta n g e n ts à
c e tte d e rn iè re . S u r le p e tit c e r c le xt, = a de S^^ p r o c h e d e N , b a p tis é C , le c h a m p a
u n e v a le u r a u s s i p r o c h e d e s a v a le u r u{N) e n N q u ’o n le d é s ir e , m o y e n n a n t le c h o ix
d ’u n a s u ff is a m m e n t p r o c h e d e 1. E n c h a q u e p o in t x d e C , le p la n ta n g e n t à 5 ^ e n
X p o s s è d e u n r e p è r e o r th o g o n a l (/, j ) tel q u e / e s t ta n g e n t à C e t j o r ie n té v e rs N .
O b s e r v o n s le lie u g é o m é tr iq u e F d e s p o s itio n s d e u{x) d a n s n o tre r e p è r e lo rs q u e jc
p a r c o u r t C d a n s le s e n s direct v u d e l ’e x té r ie u r d e 5 ^ (d o n c « d e d e s s u s » ) ; u{x) é ta n t
trè s v o is in d e u{N), ce lie u e s t p r o ch e d^un cercle d e r a y o n ||w(A^)||, p a rc o u r u d a n s le
s e n s n ég a tif.
a
@
115