Chapitre 8 • Flots hors de R"
8.2 F lo t sur un c e r c l e
D ’u n p o in t d e v u e to p o lo g iq u e , le c e r c le e s t la s p h è re 5 ' d e d im e n s io n 1, q u ’o n
p e u t d é fin ir in d if f é r e m m e n t c o m m e l ’e s p a c e R / Z d e s r é e ls m o d u lo 1, o u c o m m e l ’e n
s e m b le d e s p o in ts d u p la n e u c lid ie n s itu é s à la d is ta n c e 1 d e l ’o r ig in e (0 , 0).
S ' e s t a u s s i le to re
u n id im e n s io n n e l.
8.2,1 Quelques différences avec un flot sur R
- Localem ent, 5 * e t R s o n t to p o lo g iq u e m e n t id e n tiq u e s : le s p r o p rié té s to p o lo g iq u e s
lo c a le s d e s flo ts s u r c e s d e u x e s p a c e s s e r o n t d o n c le s m ê m e s .
- G lobalem ent a u s s i, le s flo ts s u r S ^ e t s u r R p e u v e n t p a r ta g e r c e rta in e s p r o p r ié té s
c o m m u n e s , p a r e x e m p le la p o s s ib ilité d e n e p r é s e n te r a u c u n é q u ilib r e .
M a is ils d iff è re n t s u r d e u x p o in ts a u m o in s :
• U n e tr a je c to ir e n o n r é d u ite à u n é q u ilib r e p e u t ê tr e p é r io d iq u e s u r 5 ^ m a is e n
a u c u n c a s s u r R .
• U n é q u ilib r e p e u t ê tr e a ttr a c tif , r é p u l s if e t in s ta b le e n m ê m e te m p s su r S ^ (le p a r a
g r a p h e q u i s u it e n p r é s e n te u n e x e m p le ) , m a is c e tte s itu a tio n e s t im p o s s ib le s u r R .
T J
O
c
D
Q
kD
O
rs]
ai
>•
QO
U
8.2.2 Un équilibre attractif et répulsif en dimension 1
L a p o s itio n d ’u n p e n d u le s im p le e s t 0
n, +n]. O n id e n tifie le s d e u x b o r n e s - n
e t +7T, c e q u i d o n n e à l ’e n s e m b le d e d é fin itio n d e 0 la to p o lo g ie d ’u n c e rc le . A s tr e ig n o n s le p e n d u le a u x o r b ite s « v ite s s e n u lle a u p o in t h a u t » e t à la c o n d itio n Ö > 0. Il
y a d eu x te lle s o r b ite s :
• l ’e n s e m b le ] - n, +tï[ ;
• le p o in t d ’é q u ilib r e h a u t {6 = tt).
L ’é n e rg ie m é c a n iq u e é ta n t c o n s ta n te , to u te v a le u r d e 0 d é te r m in e l ’é n e rg ie p o te n tie lle
d u p e n d u le , d o n c é g a le m e n t s o n é n e rg ie c in é tiq u e . E lle d é te r m in e e n fin Ö p u is q u e
è > 0 .
Il e x is te d o n c u n e fo n c tio n / ( d o n t o n p o u r r a à titre d ’e x e rc ic e tro u v e r la f o rm e
a n a ly tiq u e ) te lle q u e Ö = f{6 ). L e s y s tè m e S f o r m é p a r le p e n d u le c o n tr a in t c o m m e
in d iq u é e s t d e d im e n s io n 1 : l ’a n g le 0 e n c o n s titu e l ’é ta t. L ’e s p a c e d e s é ta ts e s t i l =
’ K ß j i ’ L . T o p o lo g iq u e m e n t c ’e s t u n c e rc le , v a rié té d e d im e n s io n 1.
114
8.2 F lo t sur un c e r c l e
D ’u n p o in t d e v u e to p o lo g iq u e , le c e r c le e s t la s p h è re 5 ' d e d im e n s io n 1, q u ’o n
p e u t d é fin ir in d if f é r e m m e n t c o m m e l ’e s p a c e R / Z d e s r é e ls m o d u lo 1, o u c o m m e l ’e n
s e m b le d e s p o in ts d u p la n e u c lid ie n s itu é s à la d is ta n c e 1 d e l ’o r ig in e (0 , 0).
S ' e s t a u s s i le to re
u n id im e n s io n n e l.
8.2,1 Quelques différences avec un flot sur R
- Localem ent, 5 * e t R s o n t to p o lo g iq u e m e n t id e n tiq u e s : le s p r o p rié té s to p o lo g iq u e s
lo c a le s d e s flo ts s u r c e s d e u x e s p a c e s s e r o n t d o n c le s m ê m e s .
- G lobalem ent a u s s i, le s flo ts s u r S ^ e t s u r R p e u v e n t p a r ta g e r c e rta in e s p r o p r ié té s
c o m m u n e s , p a r e x e m p le la p o s s ib ilité d e n e p r é s e n te r a u c u n é q u ilib r e .
M a is ils d iff è re n t s u r d e u x p o in ts a u m o in s :
• U n e tr a je c to ir e n o n r é d u ite à u n é q u ilib r e p e u t ê tr e p é r io d iq u e s u r 5 ^ m a is e n
a u c u n c a s s u r R .
• U n é q u ilib r e p e u t ê tr e a ttr a c tif , r é p u l s if e t in s ta b le e n m ê m e te m p s su r S ^ (le p a r a
g r a p h e q u i s u it e n p r é s e n te u n e x e m p le ) , m a is c e tte s itu a tio n e s t im p o s s ib le s u r R .
T J
O
c
D
Q
kD
O
rs]
ai
>•
QO
U
8.2.2 Un équilibre attractif et répulsif en dimension 1
L a p o s itio n d ’u n p e n d u le s im p le e s t 0
n, +n]. O n id e n tifie le s d e u x b o r n e s - n
e t +7T, c e q u i d o n n e à l ’e n s e m b le d e d é fin itio n d e 0 la to p o lo g ie d ’u n c e rc le . A s tr e ig n o n s le p e n d u le a u x o r b ite s « v ite s s e n u lle a u p o in t h a u t » e t à la c o n d itio n Ö > 0. Il
y a d eu x te lle s o r b ite s :
• l ’e n s e m b le ] - n, +tï[ ;
• le p o in t d ’é q u ilib r e h a u t {6 = tt).
L ’é n e rg ie m é c a n iq u e é ta n t c o n s ta n te , to u te v a le u r d e 0 d é te r m in e l ’é n e rg ie p o te n tie lle
d u p e n d u le , d o n c é g a le m e n t s o n é n e rg ie c in é tiq u e . E lle d é te r m in e e n fin Ö p u is q u e
è > 0 .
Il e x is te d o n c u n e fo n c tio n / ( d o n t o n p o u r r a à titre d ’e x e rc ic e tro u v e r la f o rm e
a n a ly tiq u e ) te lle q u e Ö = f{6 ). L e s y s tè m e S f o r m é p a r le p e n d u le c o n tr a in t c o m m e
in d iq u é e s t d e d im e n s io n 1 : l ’a n g le 0 e n c o n s titu e l ’é ta t. L ’e s p a c e d e s é ta ts e s t i l =
’ K ß j i ’ L . T o p o lo g iq u e m e n t c ’e s t u n c e rc le , v a rié té d e d im e n s io n 1.
114