F l o t s h o r s d e
n
8
C o m m e n o u s l ’a v o n s s ig n a lé d è s le p r e m ie r c h a p itr e , l ’e s p a c e Q d ’a p p a r te n a n c e d e
l ’é ta t JC e s t g é n é r a le m e n t u n dom aine ( o u v e r t c o n n e x e ) i l d e R ” , p a rf o is é te n d u à s o n
ad héren ce, c ’e s t- à - d ir e a u p lu s p e tit f e r m é q u i le c o n tie n t. M a is o n p e u t a u s s i r e n
c o n tr e r c o m m e e n s e m b le n a tu r e l d ’a p p a r te n a n c e d e l ’é ta t u n e variété d e d im e n s io n n
q u i n ’e s t p a s u n e p a rtie d e R'^ (v o ir l ’a n n e x e 2 ). D a n s c e q u i s u it, il su ffit d e s ’a p
p u y e r s u r la d é fin itio n in tu itiv e d e v a rié té d e d im e n s io n n, e n s e m b le d ’o u v e rts d e R ^
se r e c o u v r a n t p a r tie lle m e n t e t c o n v e n a b le m e n t r e c o llé s . A in s i :
• le c e rc le , v a rié té d e d im e n s io n 1, s ’o b tie n t e n r e c o lla n t d e u x in te r v a lle s r é e ls o u
v e rts ;
• la s p h è re , v a rié té d e d im e n s io n 2, s ’o b tie n t e n r e c o lla n t d e u x d is q u e s p la n s o u v e rts .
L e b u t d e s e x e m p le s d o n n é s d a n s c e b r e f c h a p itr e e s t d e m o n tr e r q u e c e r ta in e s p r o
p r ié té s p e u v e n t ê tr e v é rif ié e s s u r u n e v a rié té e t fa u s s e s d a n s to u t d o m a in e d e R "
d e m ê m e d im e n s io n . L ’e x e r c ic e 1.4 a u p r e m ie r c h a p itr e n o u s a v a it d é jà fo u rn i u n
e x e m p le é lé m e n ta ir e .
■a
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3
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CM
(y)
4-1
X I
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8.1 D ér iv a tio n hors de r "
Q u a n d n n ’e s t p a s u n o u v e r t d e R'^, d o n c q u a n d jc n ’e s t p a s u n v e c te u r, q u ’e s t- c e
q u e la d é riv é e . t ? L a q u e s tio n s e p o s e e ff e c tiv e m e n t c a r la d é fin itio n d e la d é riv é e
p r é s u p p o s e c e lle d e la s o u s tr a c tio n ; e t d a n s le c a s d u to re p a r e x e m p le , o n n e s a it p a s
s o u s tr a ir e u n é lé m e n t à u n a u tre . L a b o n n e m o d é lis a tio n m a th é m a tiq u e e s t c e lle d e s
variétés d ifférentielles, q u i c o n d u it à d é fin ir x d a n s R " . Il n ’e s t c e p e n d a n t p a s i n d is
p e n s a b le d e p o s s é d e r to u t l ’a rs e n a l m a th é m a tiq u e c o r r e s p o n d a n t. U n ly c é e n p e r ç o it
d é jà in tu itiv e m e n t la d iff é re n c e d e n a tu r e e n tr e a n g le (ré e l m o d u lo In ) e t v ite s s e a n
g u la ir e (ré e l). Il p r a tiq u e d o n c s a n s la f o r m a lis e r la d é riv a tio n s u r u n e v a rié té d if f é r e n
tie lle . C e tte o p é r a tio n e s t é v o q u é e b r iè v e m e n t e n a n n e x e 2 , p a r a g r a p h e « v a rié té s ».
O n r e tie n d r a q u e :
• si O c R " , i: e t Ji a p p a r tie n n e n t to u s d e u x à R'^ ;
• si Q e s t u n o u v e r t d ’u n e v a rié té d iff é re n tie lle a u tr e q u e R ” , a lo r s x et x n^appartien n en tp a s au m êm e espace : le p r e m ie r e s t d a n s u n e v a rié té , le s e c o n d d a n s E " .
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c o n tr e r c o m m e e n s e m b le n a tu r e l d ’a p p a r te n a n c e d e l ’é ta t u n e variété d e d im e n s io n n
q u i n ’e s t p a s u n e p a rtie d e R'^ (v o ir l ’a n n e x e 2 ). D a n s c e q u i s u it, il su ffit d e s ’a p
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• le c e rc le , v a rié té d e d im e n s io n 1, s ’o b tie n t e n r e c o lla n t d e u x in te r v a lle s r é e ls o u
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O n r e tie n d r a q u e :
• si O c R " , i: e t Ji a p p a r tie n n e n t to u s d e u x à R'^ ;
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