Chapitre 7 • Structuration du flot
1. (a ) L in é a r is e r S a u to u r d e so n é q u ilib r e zo = | q |- O n n o te r a 5 ^ le s y s tè m e
lin é a ris é .
(b ) Q u e lle e s t la n a tu r e d e zo e n ta n t q u ’é q u ilib r e d e 5 l ? D e 5 ?
2. Résolution analytique de 5 :
(a ) C a lc u le r l ’e x p r e s s io n d e (p(t, z i) , a v e c z\ =
(b ) D é te r m in e r la p la g e te m p o r e lle J(z\) e t le s é v e n tu e ls p h é n o m è n e s d e n a is
s a n c e im p lo s iv e e t d e m o rt e x p lo s iv e .
3. Variétés centrales Vc(zo) •
(a ) D o n n e r l ’é q u a tio n d e s o r b ite s , h o r s c e lle s c o n s titu a n t l ’a x e d e s o r d o n n é e s .
(b ) M o n tr e r q u ’il e x is te u n e in fin ité d e v a rié té s c e n tr a le s .
Exercice 7.6 Tangentes aux orbites d’une variété remarquable
a é ta n t u n é q u ilib r e d ’u n s y s tè m e S d e c la s s e C ^ , m o n tr e r p a r d e s e x e m p le s q u e la
r é u n io n d e s ta n g e n te s e n a à to u te s le s o r b ite s (à c h a c u n e d e s q u e lle s o n a jo u te {a})
d ’u n e v a rié té r e m a r q u a b le V{a) p e u t ê tr e :
1. s o it v id e ;
2. s o it u n e p a rtie p r o p r e n o n v id e d u s o u s - e s p a c e a ffin e é v o q u é d a n s le 2^ th é o r è m e
d e s v a rié té s r e m a r q u a b le s ;
3 . s o it le s o u s - e s p a c e a ffin e é v o q u é d a n s le 2® th é o r è m e d e s v a rié té s r e m a r q u a b le s .
■a
O
c
D
Û
«JD
t H
O
CM
(y)
X I
ai
>Q.
O
U
7.3.1 Éléments homoclines et hétéroclines
U n p o in t y € Q e s t u n p o in t homocline s ’il e x is te u n é q u ilib r e h y p e r b o liq u e a te l
q u e y a p p a r tie n n e à la v a r ié té s ta b le et à la v a rié té in s ta b le d e a, c ’e s t- à - d ir e y e
Vs(a) n Vu(a).
y e Q. e s t d it hétérocline s ’il e x is te d e u x é q u ilib r e s h y p e r b o liq u e s d is tin c ts a ci b
te ls q u e y a p p a r tie n n e à la v a rié té s ta b le d e a e t à la v a rié té in s ta b le d e b, c ’e s t- à - d ir e
y e V,(a) n V ,(b).
L e s q u a lif ic a tifs h o m o c lin e e t h é té r o c lin e s ’a p p liq u e n t a u s s i à la tra je c to ir e e t à
l ’o r b ite p o r ta n t y. O n tr o u v e r a d e s e x e m p le s d a n s le s c o r r ig é s d e s q u e s tio n s 8 e t 14
d u th è m e d ’é tu d e s u r le p e n d u le , q u i c lô t le c h a p itr e 8.
112
1. (a ) L in é a r is e r S a u to u r d e so n é q u ilib r e zo = | q |- O n n o te r a 5 ^ le s y s tè m e
lin é a ris é .
(b ) Q u e lle e s t la n a tu r e d e zo e n ta n t q u ’é q u ilib r e d e 5 l ? D e 5 ?
2. Résolution analytique de 5 :
(a ) C a lc u le r l ’e x p r e s s io n d e (p(t, z i) , a v e c z\ =
(b ) D é te r m in e r la p la g e te m p o r e lle J(z\) e t le s é v e n tu e ls p h é n o m è n e s d e n a is
s a n c e im p lo s iv e e t d e m o rt e x p lo s iv e .
3. Variétés centrales Vc(zo) •
(a ) D o n n e r l ’é q u a tio n d e s o r b ite s , h o r s c e lle s c o n s titu a n t l ’a x e d e s o r d o n n é e s .
(b ) M o n tr e r q u ’il e x is te u n e in fin ité d e v a rié té s c e n tr a le s .
Exercice 7.6 Tangentes aux orbites d’une variété remarquable
a é ta n t u n é q u ilib r e d ’u n s y s tè m e S d e c la s s e C ^ , m o n tr e r p a r d e s e x e m p le s q u e la
r é u n io n d e s ta n g e n te s e n a à to u te s le s o r b ite s (à c h a c u n e d e s q u e lle s o n a jo u te {a})
d ’u n e v a rié té r e m a r q u a b le V{a) p e u t ê tr e :
1. s o it v id e ;
2. s o it u n e p a rtie p r o p r e n o n v id e d u s o u s - e s p a c e a ffin e é v o q u é d a n s le 2^ th é o r è m e
d e s v a rié té s r e m a r q u a b le s ;
3 . s o it le s o u s - e s p a c e a ffin e é v o q u é d a n s le 2® th é o r è m e d e s v a rié té s r e m a r q u a b le s .
■a
O
c
D
Û
«JD
t H
O
CM
(y)
X I
ai
>Q.
O
U
7.3.1 Éléments homoclines et hétéroclines
U n p o in t y € Q e s t u n p o in t homocline s ’il e x is te u n é q u ilib r e h y p e r b o liq u e a te l
q u e y a p p a r tie n n e à la v a r ié té s ta b le et à la v a rié té in s ta b le d e a, c ’e s t- à - d ir e y e
Vs(a) n Vu(a).
y e Q. e s t d it hétérocline s ’il e x is te d e u x é q u ilib r e s h y p e r b o liq u e s d is tin c ts a ci b
te ls q u e y a p p a r tie n n e à la v a rié té s ta b le d e a e t à la v a rié té in s ta b le d e b, c ’e s t- à - d ir e
y e V,(a) n V ,(b).
L e s q u a lif ic a tifs h o m o c lin e e t h é té r o c lin e s ’a p p liq u e n t a u s s i à la tra je c to ir e e t à
l ’o r b ite p o r ta n t y. O n tr o u v e r a d e s e x e m p le s d a n s le s c o r r ig é s d e s q u e s tio n s 8 e t 14
d u th è m e d ’é tu d e s u r le p e n d u le , q u i c lô t le c h a p itr e 8.
112