CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
n = 1
n = 2
n = 3
Figure 3.13 – Les trois premiers modes propres d’une corde fixée à ses deux
extrémités.
Exemple
Les cordes d’une guitare sont en acier de masse volumique ρ = 7,87.10 3 kg·m −3 . La
corde la plus aiguë a un diamètre Φ = 3,00.10 −4 m et une longueur L = 64,0 cm. Elle
est tendue avec une tension T = 100 N.
La masse linéique de la corde est μ =
1
4
ρπΦ 2 et la célérité des ondes sur cette corde
est :
c =
T
μ
=
T
ρπ(Φ 2 /4)
= 424 m·s
−1
.
La longueur d’onde du mode fondamental de la corde est : λ 1 = 2L = 1, 28 m et sa
fréquence fondamentale :
f 1 =
c
λ 1
=
424
1, 28
= 331 Hz
(pour les lecteurs musiciens, il s’agit d’un mi3).
b) Mouvement général de la corde
Les modes propres sont les vibrations sinusoïdales de la corde. Le mouvement le plus général
de la corde n’est pas sinusoïdal, mais c’est une superposition des différents modes propres.
Le mouvement le plus général de la corde est obtenu par superposition linéaire de tous
ses modes propres, soit :
y(x,t) =
∞
∑
n=1
A n sin
n
π
L
x
cos
n
πc
L
t + ϕ n
où les A n et ϕ n sont des constantes quelconques.
Comme les modes propres ont des fréquences toutes multiples de f 1 =
c
2L
, le mouvement est
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