ONDES STATIONNAIRES ET MODES PROPRES
On cherche une onde stationnaire y(x,t) de la forme (3.4) :
y(x,t) = 2A cos(kx + ψ) cos(ωt + ϕ),
avec k =
ω
c
. Les conditions aux limites ci-dessus imposent que les deux extrémités de la
corde soient des nœuds de vibration, soit :
cos(ψ) = 0 et cos(kL + ψ) = 0.
On ne réduit pas la généralité du calcul en supposant que ψ est compris entre −π et +π. La
première condition impose ψ = ±
π
2
. Du fait que cos
kx −
π
2
= − cos
kx +
π
2
= sin(kx),
le changement de ψ = −
π
2
en ψ =
π
2
revient à une inversion du signe de cos(kx + ψ) que
l’on peut compenser en changeant ϕ en ϕ + π. Ainsi, sans perte de généralité, on prendra :
ψ = −
π
2
de sorte que : cos(kx + ψ) = sin(kx).
La condition cos(kL + ψ) = sin(kL) = 0 devient alors kL = nπ. Les valeurs possibles de k
sont donc :
k n = n
π
L
, où n est un entier.
On en déduit les valeurs possibles de la pulsation ω, en notant c la célérité des ondes se
propageant le long de la corde :
ω n = ck n = n
πc
L
, où n est un entier.
Les ondes stationnaires pouvant exister sur une corde de longueur L fixée en ses extrémités sont :
y(x,t) = A sin
n
π
L
x
cos
n
πc
L
t + ϕ
(3.7)
où n est un entier, et A et ϕ des constantes quelconques.
Ce sont les modes propres de vibration de la corde. Les fréquences des modes propres,
appelées fréquences propres, sont :
f n = n
c
2L
.
Les longueurs d’ondes correspondantes,
λ n =
c
f n
=
2L
n
,
sont les sous-multiples entiers de 2L.
L’aspect de la corde pour les premiers modes propres est représenté sur la figure 3.13. Le
mode propre d’ordre n a n + 1 nœuds de vibrations qui sont les deux extrémités de la corde
et n − 1 autres nœuds.
95