ONDES STATIONNAIRES ET MODES PROPRES
s
λ
λ
2
x
Figure 3.8 – Onde stationnaire à trois instants différents : t 1 (en noir), t 2 (en gris clair)
et t 3 = t 1 +
T
2
(en gris foncé, trait fin).
b) Nœuds et ventres de vibration
L’amplitude de l’onde (3.4) dépend de la position x (alors que ce n’est pas le cas pour une
onde progressive) et elle est donnée par :
A (x) = |2A cos(kx + ψ)| .
On constate sur la figure 3.8 qu’il existe des points pour lesquels l’onde stationnaire est nulle
à chaque instant. Ces points sont appelés les nœuds de vibration. Ce sont les points pour
lesquels A (x) = 0 ; leurs abscisses x vérifient :
cos(kx + ψ) = 0 ⇐⇒ kx + ψ =
π
2
+ nπ, avec n entier
⇐⇒ x = −
ψ
k
+
π
2k
+ n
π
k
, avec n entier
⇐⇒ x = −
ψ
k
+
λ
4
+ n
λ
2
, avec n entier ,
puisque λ =
2π
k
. Les nœuds de vibrations sont donc régulièrement espacés et la distance
entre deux nœuds consécutifs est
λ
2
.
Il existe aussi des points en lesquels l’amplitude A (x) de l’onde stationnaire est maximale.
Ces points sont appelés les ventres de vibration. Ce sont les points pour lesquels A (x) = 2A ;
leurs abscisses x vérifient :
cos(kx + ψ) = ±1 ⇐⇒ kx + ψ = nπ, avec n entier
⇐⇒ x = −
ψ
k
+ n
π
k
, avec n entier
⇐⇒ x = −
ψ
k
+ n
λ
2
, avec n entier.
Les ventres de vibration sont donc régulièrement espacés et la distance entre deux ventres
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