CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
2 Ondes stationnaires et modes propres
2.1 Superposition de deux ondes progressives de même amplitude
Dans les deux paragraphes précédents on a considéré différents cas de superposition de signaux sinusoïdaux sans référence à leur dépendance spatiale (signaux pris en un point donné).
Dans ce paragraphe, on va étudier la superposition, dans tout l’espace, de deux ondes de
même fréquence et même amplitude, se propageant en sens inverse. Ces deux ondes progressives s’écrivent :
s 1 (x,t) = A cos(ωt − kx + ϕ 1 ) et s 2 (x,t) = A cos(ωt + kx + ϕ 2 ),
avec k =
ω
c
. Elles se propagent le long de l’axe (Ox) en sens opposés.
En utilisant la formule de trigonométrie cos p + cos q = 2 cos
p + q
2
cos
p − q
2
(voir appendice
mathématique) qui transforme une somme de cosinus en un produit, on peut écrire l’onde qui
résulte de la superposition de ces deux ondes, s(x,t) = s 1 (x,t) + s 2 (x,t), sous la forme :
s(x,t) = A cos(ωt − kx + ϕ 1 ) + A cos(ωt + kx + ϕ 2 )
= 2A cos
kx +
1
2
(ϕ 2 − ϕ 1 )
× cos
ωt +
1
2
(ϕ 1 + ϕ 2 )
.
Cette expression mathématique montre que l’onde s(x,t) est de nature totalement différente
des ondes s 1 (x,t) et s 2 (x,t). En effet, on n’a plus la combinaison linéaire ωt − kx ou ωt + kx
qui traduit la propagation d’une onde, mais au contraire une séparation de la variable spatiale
x et de la variable temporelle t. Une telle onde ne se propage pas, mais vibre sur place et elle
est appelée onde stationnaire.
2.2 Onde stationnaire
a) Définition
Une onde stationnaire harmonique est une onde de la forme :
s(x,t) = 2A cos(ωt + ϕ) cos(kx + ψ),
(3.4)
avec k =
ω
c
, où c est la célérité des ondes progressives de même nature physique. Elle
est égale à la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales de pulsation ω se
propageant en sens inverse le long de l’axe (Ox), ayant la même amplitude A.
La figure 3.8 représente s(x,t) en fonction de x à différents instants. Il est intéressant de la
comparer avec la figure 2.14 du chapitre précédent. On constate que cette onde ne ne propage
pas d’où le qualificatif de stationnaire.
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2 Ondes stationnaires et modes propres
2.1 Superposition de deux ondes progressives de même amplitude
Dans les deux paragraphes précédents on a considéré différents cas de superposition de signaux sinusoïdaux sans référence à leur dépendance spatiale (signaux pris en un point donné).
Dans ce paragraphe, on va étudier la superposition, dans tout l’espace, de deux ondes de
même fréquence et même amplitude, se propageant en sens inverse. Ces deux ondes progressives s’écrivent :
s 1 (x,t) = A cos(ωt − kx + ϕ 1 ) et s 2 (x,t) = A cos(ωt + kx + ϕ 2 ),
avec k =
ω
c
. Elles se propagent le long de l’axe (Ox) en sens opposés.
En utilisant la formule de trigonométrie cos p + cos q = 2 cos
p + q
2
cos
p − q
2
(voir appendice
mathématique) qui transforme une somme de cosinus en un produit, on peut écrire l’onde qui
résulte de la superposition de ces deux ondes, s(x,t) = s 1 (x,t) + s 2 (x,t), sous la forme :
s(x,t) = A cos(ωt − kx + ϕ 1 ) + A cos(ωt + kx + ϕ 2 )
= 2A cos
kx +
1
2
(ϕ 2 − ϕ 1 )
× cos
ωt +
1
2
(ϕ 1 + ϕ 2 )
.
Cette expression mathématique montre que l’onde s(x,t) est de nature totalement différente
des ondes s 1 (x,t) et s 2 (x,t). En effet, on n’a plus la combinaison linéaire ωt − kx ou ωt + kx
qui traduit la propagation d’une onde, mais au contraire une séparation de la variable spatiale
x et de la variable temporelle t. Une telle onde ne se propage pas, mais vibre sur place et elle
est appelée onde stationnaire.
2.2 Onde stationnaire
a) Définition
Une onde stationnaire harmonique est une onde de la forme :
s(x,t) = 2A cos(ωt + ϕ) cos(kx + ψ),
(3.4)
avec k =
ω
c
, où c est la célérité des ondes progressives de même nature physique. Elle
est égale à la superposition de deux ondes progressives sinusoïdales de pulsation ω se
propageant en sens inverse le long de l’axe (Ox), ayant la même amplitude A.
La figure 3.8 représente s(x,t) en fonction de x à différents instants. Il est intéressant de la
comparer avec la figure 2.14 du chapitre précédent. On constate que cette onde ne ne propage
pas d’où le qualificatif de stationnaire.
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