CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
(Ox) un axe orthogonal à E 1 E 2 . On repère la position R du récepteur par d = OR et l’angle θ
entre (Ox) et le vecteur
− →
OR.
E 1
E 2
R
θ
θ
d
d 1
d 2
H
a/2
a/2
O
x
Figure 3.6 – Calcul de d 2 − d 1 en fonction de la position angulaire.
Soit H le projeté orthogonal de R sur la droite E 1 E 2 . On retrouve l’angle θ dans le triangle
rectangle ORH par la propriété des angles alterne-interne, ce qui permet de trouver que :
OH = OR sin θ = d sin θ .
On peut écrire ensuite, grâce au théorème de Pythagore :
d
2
2 − d
2
1 = E 2 R
2
− E 1 R
2
= (E 2 H
2
+ HR
2
) − (E 1 H
2
+ HR
2
)
= E 2 H
2
− E 1 H
2
=
d sin θ +
a
2
2 −
d sin θ −
a
2
2 = 2ad sinθ .
D’autre part : d 2
2 − d 2
1 = (d 2 + d 1 )(d 2 − d 1 ). Et si la distance entre le récepteur et les émetteurs est très grande devant la distance entre les émetteurs, soit si d a, on peut écrire :
d 1 + d 2 2d. Pour s’en convaincre on peut remarquer que l’égalité est rigoureuse si θ =
π
2
et que, pour θ = 0, d 1 + d 2 = 2
d 2 +
a 2
4
= 2d
1 +
a 2
d 2 2d au premier ordre en
a
d
1.
On a ainsi :
d
2
2 − d
2
1 2d(d 2 − d 1 )
En comparant les deux expressions de d 2
2 − d 2
1 on trouve :
d 2 − d 1 a sin θ .
On a interférence constructrice si :
d 2 − d 1 = nλ soit si sin θ = n
λ
a
,
avec n entier. Ainsi, l’échelle angulaire du phénomène d’interférence, à grande distance de
deux émetteurs séparés d’une distance a est l’angle θ i tel que :
sin θ i =
λ
a
.
(3.2)
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