CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
Pour dessiner
− →
S =
− →
S 1 +
− →
S 2 , il suffit de reproduire à partir de l’extrémité de
− →
S 1 la
flèche représentant
− →
S 2 (même longueur et même direction).
✎
L’amplitude A de s(t) est donnée par :
A
2
=
− →
S
2
=
− →
S
2
=
− →
S 1 +
−
→
S 2
2 =
− →
S 1
2
+
−
→
S 2
2
+ 2
− →
S 1 ·
−
→
S 2
=
− →
S 1
2
+
− →
S 2
2
+ 2
− →
S 1
− →
S 2 cos
− →
S 1 ,
− →
S 2
= A
2
1 + A
2
2 + 2A 1 A 2 cos Δϕ,
où Δϕ = ϕ 2 − ϕ 1 est l’angle entre les vecteurs
− →
S 1 et
− →
S 2 . On retrouve bien la formule (3.1).
Le calcul ci-dessus utilise différentes propriétés mathématiques du produit scalaire :
bilinéarité, expression en fonction des normes et du cosinus de l’angle des vecteurs,
égalité du carré scalaire et du carré de la norme. On trouvera plus de détails sur ces
propriétés dans l’annexe mathématique.
✎
c) Maximum et minimum d’amplitude
Les amplitudes A 1 et A 2 étant fixées, l’amplitude A est maximale lorsque cos Δϕ = 1 soit
lorsque Δϕ = m × 2π où m est un entier relatif.
L’amplitude du signal somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation est
maximale lorsque les signaux sont en phase.
La valeur maximale de A est :
A max =
A 2
1 + A 2
2 + 2A 1 A 2 =
(A 1 + A 2 ) 2 soit
A max = A 1 + A 2 .
Ce résultat se voit bien sur la figure 3.1 lorsque les deux sinusoïdes sont en phase, ainsi que
sur la figure 3.2 puisque dans ce cas les deux vecteurs de Fresnel sont colinéaires et de même
sens.
A est minimale lorsque cos Δϕ = −1 soit lorsque Δϕ = π + m × 2π où m est un entier relatif.
L’amplitude du signal somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation est minimale lorsque les signaux sont en opposition de phase.
La valeur minimale de A est :
A min =
A 2
1 + A 2
2 − 2A 1 A 2 =
(A 1 A 2 ) 2 soit
A min = |A 1 − A 2 |.
Ce résultat se voit bien sur la figure 3.1 lorsque les deux sinusoïdes sont en opposition de
phase, ainsi que sur la figure 3.2 puisque dans ce cas les deux vecteurs de Fresnel sont colinéaires et de sens opposés.
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Pour dessiner
− →
S =
− →
S 1 +
− →
S 2 , il suffit de reproduire à partir de l’extrémité de
− →
S 1 la
flèche représentant
− →
S 2 (même longueur et même direction).
✎
L’amplitude A de s(t) est donnée par :
A
2
=
− →
S
2
=
− →
S
2
=
− →
S 1 +
−
→
S 2
2 =
− →
S 1
2
+
−
→
S 2
2
+ 2
− →
S 1 ·
−
→
S 2
=
− →
S 1
2
+
− →
S 2
2
+ 2
− →
S 1
− →
S 2 cos
− →
S 1 ,
− →
S 2
= A
2
1 + A
2
2 + 2A 1 A 2 cos Δϕ,
où Δϕ = ϕ 2 − ϕ 1 est l’angle entre les vecteurs
− →
S 1 et
− →
S 2 . On retrouve bien la formule (3.1).
Le calcul ci-dessus utilise différentes propriétés mathématiques du produit scalaire :
bilinéarité, expression en fonction des normes et du cosinus de l’angle des vecteurs,
égalité du carré scalaire et du carré de la norme. On trouvera plus de détails sur ces
propriétés dans l’annexe mathématique.
✎
c) Maximum et minimum d’amplitude
Les amplitudes A 1 et A 2 étant fixées, l’amplitude A est maximale lorsque cos Δϕ = 1 soit
lorsque Δϕ = m × 2π où m est un entier relatif.
L’amplitude du signal somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation est
maximale lorsque les signaux sont en phase.
La valeur maximale de A est :
A max =
A 2
1 + A 2
2 + 2A 1 A 2 =
(A 1 + A 2 ) 2 soit
A max = A 1 + A 2 .
Ce résultat se voit bien sur la figure 3.1 lorsque les deux sinusoïdes sont en phase, ainsi que
sur la figure 3.2 puisque dans ce cas les deux vecteurs de Fresnel sont colinéaires et de même
sens.
A est minimale lorsque cos Δϕ = −1 soit lorsque Δϕ = π + m × 2π où m est un entier relatif.
L’amplitude du signal somme de deux signaux sinusoïdaux de même pulsation est minimale lorsque les signaux sont en opposition de phase.
La valeur minimale de A est :
A min =
A 2
1 + A 2
2 − 2A 1 A 2 =
(A 1 A 2 ) 2 soit
A min = |A 1 − A 2 |.
Ce résultat se voit bien sur la figure 3.1 lorsque les deux sinusoïdes sont en opposition de
phase, ainsi que sur la figure 3.2 puisque dans ce cas les deux vecteurs de Fresnel sont colinéaires et de sens opposés.
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