CHAPITRE 3 – SUPERPOSITIONS DE SIGNAUX
-6
-4
-2
0
2
4
6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
-6
-4
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0
2
4
6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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-6
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0.2
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-2
0
2
4
6
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
ϕ = 0
ϕ =
π
2
ϕ = π
ϕ =
3π
2
Figure 3.1 – Signaux s 1 (t) (en gris foncé), s 2 (t) (en gris clair) et s 1 (t) + s 2 (t) (en noir)
pour différentes valeurs de ϕ.
b) Calcul de l’amplitude du signal résultant
Soit les deux signaux : s 1 (t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) et s 2 (t) = A 2 cos(ωt + ϕ 2 ). Quelle est l’amplitude du signal s(t) = s 1 (t) + s 2 (t) ?
Méthode analytique On peut écrire le signal résultant sous la forme :
s(t) = s 1 (t) + s 2 (t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) + A 2 cos(ωt + ϕ 2 )
= (A 1 cos ϕ 1 cos(ωt) − A 1 sin ϕ 1 sin(ωt)) + (A 2 cos ϕ 2 cos(ωt) − A 2 sin ϕ 2 sin(ωt))
= (A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2 ) cos(ωt) − (A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2 ) sin(ωt),
en utilisant la formule de trigonométrie cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β . Il apparaît
ainsi clairement qu’il s’agit d’un signal sinusoïdal de même pulsation (donc fréquence) que
les deux signaux s 1 et s 2 . Son amplitude A est donnée par la formule 1.8 du chapitre 1 :
A
2
= (A 1 cos ϕ 1 + A 2 cos ϕ 2 )
2 + (A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2 )
2
= A
2
1 + A
2
2 + 2A 1 A 2 (cos ϕ 1 cos ϕ 2 + sin ϕ 1 sin ϕ 2 )
= A
2
1 + A
2
2 + 2A 1 A 2 cos (ϕ 1 − ϕ 2 ) ,
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