Exercices Corrigés
CORRIGÉS
2.8 Onde longitudinale le long d’un ressort
1. Lors du passage de l’onde l’abscisse de la i ième spire devient x i + s(x i ,t), et l’abscisse de
la (i + 1) ième spire devient x i+1 + s(x i+1 ,t). La distance entre ces deux spires est alors :
d i = ((x i+1 + s(x i+1 ,t)) − (x i + s(x i ,t)) = a + s(x i+1 ,t) − s(x i ,t).
2. En utilisant la formule cos p − cosq = −2 sin
p + q
2
sin
p − q
2
, on trouve :
d i = a + A cos(Φ − kx i+1 ) − A cos(Φ − kx i )
= a + 2A sin
1
2
k(x i+1 − x i )
sin
Φ −
1
2
k(x i + x i+1 )
= a + 2A sin
ka
2
sin
Φ − k
i +
1
2
a
= a + 2A sin
ka
2
sin
Φ − kx i −
ka
2
.
3. Si ka 1 on peut écrire : sin
ka
2
ka
2
et sin
Φ − kx i −
ka
2
sin (Φ − kx i ). Il vient
alors : d i a + kAa sin(Φ − kx i ).
Ainsi la distance entre des spires situées à l’abscisse x devient, lors du passage de l’onde :
d(x,t) = a(1 + kA sin(ωt − kx + ϕ)).
Ce signal est en quadrature de phase avec le signal s(x,t) de déplacement des spires.
4. Sur la figure on observe qu’à t = 0 les spires sont serrées au maximum en x = 0. D’après
la formule précédente, cela signifie que : sin ϕ = −1, soit que : ϕ = −
π
2
.
Le déplacement des spires est donc s(x,t) = A cos(ωt − kx −
π
2
) = A sin(ωt − kx).
Sur la figure, à t = 0, s(x, 0) = −A sin kx, donc le déplacement est nul en tous les points
d’abscisses x = n
λ
2
où n est un entier et λ =
2π
k
est la longueur d’onde. Ces points correspondent sur la figure aux endroits où les spires sont soit écartées au maximum, soit serrées
au maximum.
2.9 Étude expérimentale d’une onde progressive sinusoïdale
1. La période T des signaux correspond à 6 carreaux sur l’axe horizontal. Leur décalage
temporel τ correspond à 1 carreau et le signal de la voie 2 (micro) est en retard sur le signal
de la voie 1 (GBF). Ainsi, le déphasage du signal capté par le microphone par rapport au
signal du GBF est : Δϕ = 2π
τ
T
= −2π ×
1
6
= −
π
3
− 1,05 rad.
2. Au fur et à mesure que l’on éloigne le micro, le signal correspondant (voie 2) est de plus
en plus en retard sur le signal du GBF (voie 1). La courbe 2 se décale progressivement vers
la droite sur l’écran.
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2.8 Onde longitudinale le long d’un ressort
1. Lors du passage de l’onde l’abscisse de la i ième spire devient x i + s(x i ,t), et l’abscisse de
la (i + 1) ième spire devient x i+1 + s(x i+1 ,t). La distance entre ces deux spires est alors :
d i = ((x i+1 + s(x i+1 ,t)) − (x i + s(x i ,t)) = a + s(x i+1 ,t) − s(x i ,t).
2. En utilisant la formule cos p − cosq = −2 sin
p + q
2
sin
p − q
2
, on trouve :
d i = a + A cos(Φ − kx i+1 ) − A cos(Φ − kx i )
= a + 2A sin
1
2
k(x i+1 − x i )
sin
Φ −
1
2
k(x i + x i+1 )
= a + 2A sin
ka
2
sin
Φ − k
i +
1
2
a
= a + 2A sin
ka
2
sin
Φ − kx i −
ka
2
.
3. Si ka 1 on peut écrire : sin
ka
2
ka
2
et sin
Φ − kx i −
ka
2
sin (Φ − kx i ). Il vient
alors : d i a + kAa sin(Φ − kx i ).
Ainsi la distance entre des spires situées à l’abscisse x devient, lors du passage de l’onde :
d(x,t) = a(1 + kA sin(ωt − kx + ϕ)).
Ce signal est en quadrature de phase avec le signal s(x,t) de déplacement des spires.
4. Sur la figure on observe qu’à t = 0 les spires sont serrées au maximum en x = 0. D’après
la formule précédente, cela signifie que : sin ϕ = −1, soit que : ϕ = −
π
2
.
Le déplacement des spires est donc s(x,t) = A cos(ωt − kx −
π
2
) = A sin(ωt − kx).
Sur la figure, à t = 0, s(x, 0) = −A sin kx, donc le déplacement est nul en tous les points
d’abscisses x = n
λ
2
où n est un entier et λ =
2π
k
est la longueur d’onde. Ces points correspondent sur la figure aux endroits où les spires sont soit écartées au maximum, soit serrées
au maximum.
2.9 Étude expérimentale d’une onde progressive sinusoïdale
1. La période T des signaux correspond à 6 carreaux sur l’axe horizontal. Leur décalage
temporel τ correspond à 1 carreau et le signal de la voie 2 (micro) est en retard sur le signal
de la voie 1 (GBF). Ainsi, le déphasage du signal capté par le microphone par rapport au
signal du GBF est : Δϕ = 2π
τ
T
= −2π ×
1
6
= −
π
3
− 1,05 rad.
2. Au fur et à mesure que l’on éloigne le micro, le signal correspondant (voie 2) est de plus
en plus en retard sur le signal du GBF (voie 1). La courbe 2 se décale progressivement vers
la droite sur l’écran.
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